Π的萊布尼茨公式

在數學領域，π的萊布尼茨公式說明

$\;{\frac {\pi }{4}}\!=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;$

右邊的展式是一個無窮級數，被稱為萊布尼茨級數，這個級數收斂到${\frac {\pi }{4}}$。它通常也被稱為格雷戈里-萊布尼茨級數用以紀念萊布尼茨同時代的天文學家兼數學家詹姆斯·格雷戈里。使用求和符號可記作：

$\;{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$

證明

考慮下面的幾何數列：

$1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,x^{6}\,+\,x^{8}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1+x^{2}}},\qquad |x|<1.\!$

對等式兩邊積分可得到反正切的冪級數：

$x\,-\,{\frac {x^{3}}{3}}\,+\,{\frac {x^{5}}{5}}\,-\,{\frac {x^{7}}{7}}\,+\,{\frac {x^{9}}{9}}\,-\,\cdots \;=\;\tan ^{-1}x,\qquad |x|<1.\!$

將x = 1 代入，便得萊布尼茲公式(1的反正切是π ⁄ 4)。這種推理產生的一個問題是1不在冪級數的收斂半徑以內。因此，需要額外論證當x = 1時級數收斂到tan⁻¹(1)。一種方法是利用交替級數判別法，然後使用阿貝爾定理證明級數收斂到tan⁻¹(1)。然而，也可以用一個完全初等的證明。

初等證明

考慮如下分解

${\frac {1}{1+x^{2}}}\;=\;1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,\cdots \,+\,(-1)^{n}x^{2n}\;+\;{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}.\!$

對於|x| < 1，右側的分式是餘下的幾何級數的和。然而，上面的方程並沒有包含無窮級數，並且對任何實數x成立。上式兩端從0到1積分可得：

${\frac {\pi }{4}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \,+{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;+\;(-1)^{n+1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx.\!$

當$n\rightarrow \infty \!$時，除積分項以外的項收斂到萊布尼茨級數。同時，積分項收斂到0：

$0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx\;=\;{\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow \;0\!$ 當 $n\rightarrow \infty \!$

這便證明了萊布尼茨公式。

格點與數論證明

通過以$(0,0)$為圓心，$R$為半徑的圓上及圓內格點（即橫坐標與縱坐標皆為整數）個數計算公式來得出，在這裡先考慮費馬平方和定理：一個奇素數能表示成兩個平方數之和當且僅當該素數模4餘1，並且不考慮符號與交換律下其形式唯一（由於必為一奇一偶，因此不考慮符號但考慮交換律下必然為兩種形式），比如$29\equiv 1{\pmod {4}}$可以得出$29=2^{2}+5^{2}=5^{2}+2^{2}$，而$23\equiv 3{\pmod {4}}$因此無法分解成兩個平方和形式。

現在對於所有正整數$N$，有其唯一的素因數分解形式：

$N=2^{k}(p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{m}^{\alpha _{m}})(q_{1}^{\beta _{1}}q_{2}^{\beta _{2}}\cdots q_{n}^{\beta _{n}})$

其中$\{p_{1},p_{2},\cdots ,p_{m}\}$為互不相同的模4餘1的素數，$\{q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n}\}$為互不相同的模4餘3素數。

• 如果$\{\beta _{1},\beta _{2}\cdots ,\beta _{n}\}$只要其中一個為奇數，則正整數$N$不存在表示成兩個平方和的形式（比如$75=3\times 5^{2}$，3的次數為1，因此不能表示成兩平方和）；
• 而當$\{\beta _{1},\beta _{2}\cdots ,\beta _{n}\}$全為偶數時，此時能表示成平方數形式的數量等於$(\alpha _{1}+1)(\alpha _{2}+1)\cdots (\alpha _{m}+1)$（不考慮符號但考慮交換律的情況，比如$65=5\times 13$，其中5與13次數均為1，因此有$(1+1)(1+1)=4$，即$65=1^{2}+8^{2}=2^{2}+7^{2}=7^{2}+2^{2}=8^{2}+1^{2}$）；
• 2的冪次$k$不影響$N$表示兩平方和形式的個數，比如不管$k$是多少，$2^{k}\times 65$能表示成兩個平方和形式都是4種。

接下來引入狄利克雷特徵函數，定義$\chi (N)={\begin{cases}1&N\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&N\equiv 3{\pmod {4}}\\0&N\equiv 0{\pmod {2}}\end{cases}}$，因此為積性函數，滿足$\chi (a)\cdot \chi (b)=\chi (ab)$。

• 對於模4餘1的素數$p$以及自然數$\alpha$，總有$p^{\alpha }\equiv 1{\pmod {4}}$，因此$\chi (1)+\chi (p)+\chi (p^{2})+\cdots +\chi (p^{\alpha })=\alpha +1$；
• 對於模4餘3的素數$q$以及自然數$\beta$，則有$q^{\beta }\equiv (-1)^{\beta }{\pmod {4}}$，因此$\chi (1)+\chi (q)+\chi (q^{2})+\cdots +\chi (q^{\beta })={\begin{cases}1&\beta \equiv 0{\pmod {2}}\\0&\beta \equiv 1{\pmod {2}}\end{cases}}$；
• 對於2以及自然數$k$，當$k=0$時$2^{0}=1$，即$\chi (1)=1$；當$k>0$時總有$\chi (2^{k})=0$，因此$\chi (1)+\chi (2)+\chi (4)+\cdots +\chi (2^{k})=1$。

由於$\chi (a)\cdot \chi (b)=\chi (ab)$，而這些結果正好與上述性質相吻合，因此$N$表示成兩個平方和形式的數量可以由其所有因數$t$相應的$\chi (t)$之和$\sum _{t|N}\chi (t)$來表示，比如$30=2\times 3\times 5$，於是相應地有$\chi (1)+\chi (2)+\chi (3)+\chi (5)+\chi (6)+\chi (10)+\chi (15)+\chi (30)=0$。

小於等於$R^{2}$能被正整數$n$整除的正整數有$\left\lfloor {\frac {R^{2}}{n}}\right\rfloor$個，因此對於半徑為$R$圓上及圓內格點數總和為：

$1+4\left[\left\lfloor {\frac {R^{2}}{1}}\right\rfloor \chi (1)+\left\lfloor {\frac {R^{2}}{2}}\right\rfloor \chi (2)+\cdots +\left\lfloor {\frac {R^{2}}{R}}\right\rfloor \chi (R)\right]=1+4\left(\left\lfloor {\frac {R^{2}}{1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {R^{2}}{3}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {R^{2}}{R'}}\right\rfloor ^{\frac {R'-1}{2}}\right)$

其中$R'$為不超過$R$的最大奇數，再由圓面積為$\pi R^{2}$，當$R\to \infty$時，兩者比值極限得$1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}$。

參考文獻

• Jonathan Borwein, David Bailey & Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics - Computational Paths to Discovery, A K Peters 2003, ISBN 1-56881-136-5, pages 28–30.

外部連結

• Implementation of the Leibniz formula for TI Basic （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• use the Leibniz formula to approximate pi
• Leibniz Formula in C, x86 FPU Assembly, x86-64 SSE3 Assembly, and DEC Alpha Assembly （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）