線性代數
A
=
[
1
2
3
4
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}
向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
在數學 中，七維叉積 是七維空間 的向量 的雙線性算子 。對於任何兩個向量a 、b 在
R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
a × b
R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
[ 1] 叉積 相似在於，它們滿足反交換律 且a × b a 和b ；不同在於，七維叉積不滿足雅可比恆等式 。雖然每對三維向量只有一個叉積（不辨正負），但每對七維向量可以有很多叉積。七維叉積與八元數 的關係和三維叉積與四元數 的一樣。
七維叉積是將三維以外的叉積廣義化的一個方式，而它和三維叉積是唯二結果為向量、正交於兩個向量，且大小與三維情況相同的二元雙線性向量積。[ 2] 二重向量 的二元積。
×
e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7
e1 0 e 3 −e 2 e 5 −e 4 −e 7 e 6
e2 −e 3 0 e 1 e 6 e 7 −e 4 −e 5
e3 e 2 −e 1 0 e 7 −e 6 e 5 −e 4
e4 −e 5 −e 6 −e 7 0 e 1 e 2 e 3
e5 e 4 −e 7 e 6 −e 1 0 −e 3 e 2
e6 e 7 e 4 −e 5 −e 2 e 3 0 −e 1
e7 −e 6 e 5 e 4 −e 3 −e 2 e 1 0
七維叉積可以用乘法表表示。凱萊 [ 3] [ 4] e i e j i 和j 從1到7）的叉積。例如，由該表可知，
e
1
×
e
2
=
e
3
=
−
e
2
×
e
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{1}}
乘法表可以用來計算任意兩個向量的叉積。例如，如果要計算x × y 的e 1 部分，我們可以選出叉積等於e 1 的基向量：
(
x
×
y
)
1
=
x
2
y
3
−
x
3
y
2
+
x
4
y
5
−
x
5
y
4
+
x
7
y
6
−
x
6
y
7
{\displaystyle \left(\mathbf {x\times y} \right)_{1}=x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4}+x_{7}y_{6}-x_{6}y_{7}}
重複這個步驟，便可以計算其餘六個部分。
七維叉積有480個乘法表，每個都對應一個滿足定義的叉積。[ 5] [ 4]
e
i
×
e
j
=
ε
i
j
k
e
k
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {\times } \mathbf {e} _{j}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{k}}
其中
ε
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365時，
ε
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
該表左上的3 × 3區域代表三維的叉積。
歐幾里得空間 V 中的叉積是V × V 到V 的雙線性映射 ，將V 中的向量x 和y 映射到V 中的x × y ，其中x × y 具有以下性質：[ 1] [ 6]
x
⋅
(
x
×
y
)
=
(
x
×
y
)
⋅
y
=
0
{\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=(\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\cdot \mathbf {y} =0}
|
x
×
y
|
2
=
|
x
|
2
|
y
|
2
−
(
x
⋅
y
)
2
{\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )^{2}}
其中(x ·y )為歐幾里得點積 ，而|x |為歐氏範數 。
第一個性質表明叉積垂直於其運算數，而第二個性質提供叉積的大小。設向量的夾角 為θ ，則表示式可以表達為[ 7] [ 8]
|
x
×
y
|
=
|
x
|
|
y
|
sin
θ
{\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |\sin \theta }
而它就是x 和y 的平面中鄰邊為x 和y 的平行四邊形 的面積。[ 9]
若
(
x
⋅
y
)
=
0
{\displaystyle \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} \right)=0}
|
x
×
y
|
=
|
x
|
|
y
|
{\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}
（如果假設x × x = 0是另一個公理。[ 10]
已知雙線性、正交和大小的性質，非零叉積僅存在於三維和七維。[ 2] [ 8] [ 10] 胡爾維茲定理 有關：賦範可除代數 只能存在於1、2、4和8維。如果將代數限制在0、1、3或7個虛維度，叉積則可以由賦範可除代數的積形成，而非零叉積僅存在於三維和七維。[ 11]
三維叉積是唯一的（不辨正負），但任何一對七維向量都有很多叉積。設一對向量x 和y
∈
R
7
{\displaystyle \in \mathbb {R} ^{7}}
v ，其中|v | = |x ||y | sin θ 且v 在垂直於x 和y 的五維空間中。通過乘法表（和一個有關的基向量集），我們可以求出一個叉積使得x × y = v 。不像三維叉積一樣，x × y = a × b 不代表a 和b 位於x 和y 所在的平面。[ 8]
根據定義，我們有以下性質和恆等式：
反交換律 ：
x
×
y
=
−
y
×
x
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =-\mathbf {y} \times \mathbf {x} }
標量三重積 ：
x
⋅
(
y
×
z
)
=
y
⋅
(
z
×
x
)
=
z
⋅
(
x
×
y
)
{\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=\mathbf {y} \cdot (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )=\mathbf {z} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )}
馬爾采夫恆等式 [ 8]
(
x
×
y
)
×
(
x
×
z
)
=
(
(
x
×
y
)
×
z
)
×
x
+
(
(
y
×
z
)
×
x
)
×
x
+
(
(
z
×
x
)
×
x
)
×
y
{\displaystyle (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times (\mathbf {x} \times \mathbf {z} )=((\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {y} \times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {z} \times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {y} }
x
×
(
x
×
y
)
=
−
|
x
|
2
y
+
(
x
⋅
y
)
x
{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-|\mathbf {x} |^{2}\mathbf {y} +(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {x} }
一些性質成立於三維但不成立於七維，包括：
向量三重積 ：
x
×
(
y
×
z
)
=
(
x
⋅
z
)
y
−
(
x
⋅
y
)
z
{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {z} )\mathbf {y} -(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {z} }
雅可比恆等式 ：[ 8]
x
×
(
y
×
z
)
+
y
×
(
z
×
x
)
+
z
×
(
x
×
y
)
≠
0
{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\neq 0}
由於雅可比恆等式不成立，七維叉積使R 7 不具有李代數 的結構。
為定義某特定叉積，我們可以選定一個標準正交基 {e j e i e j 乘法表一節 只展示其中一個乘法表。[ 5]
確立一個乘法表後，我們可以將它應用於一般向量x 和y ：以基向量表示x 和y ，然後根據二線性展開x × y 。
×
e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7
e 1 0 e 4 e 7 −e 2 e 6 −e 5 −e 3
e 2 −e 4 0 e 5 e 1 −e 3 e 7 −e 6
e 3 −e 7 −e 5 0 e 6 e 2 −e 4 e 1
e 4 e 2 −e 1 −e 6 0 e 7 e 3 −e 5
e 5 −e 6 e 3 −e 2 −e 7 0 e 1 e 4
e 6 e 5 −e 7 e 4 −e 3 −e 1 0 e 2
e 7 e 3 e 6 −e 1 e 5 −e 4 −e 2 0
如果我們為e 1 至e 7 指定另一個乘法表，根據反交換律，所得的叉積為：[ 8]
e
1
×
e
2
=
e
4
,
e
2
×
e
4
=
e
1
,
e
4
×
e
1
=
e
2
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2},}
e
2
×
e
3
=
e
5
,
e
3
×
e
5
=
e
2
,
e
5
×
e
2
=
e
3
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3},}
e
3
×
e
4
=
e
6
,
e
4
×
e
6
=
e
3
,
e
6
×
e
3
=
e
4
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{4},}
e
4
×
e
5
=
e
7
,
e
5
×
e
7
=
e
4
,
e
7
×
e
4
=
e
5
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{5},}
e
5
×
e
6
=
e
1
,
e
6
×
e
1
=
e
5
,
e
1
×
e
5
=
e
6
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{6},}
e
6
×
e
7
=
e
2
,
e
7
×
e
2
=
e
6
,
e
2
×
e
6
=
e
7
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{7},}
e
7
×
e
1
=
e
3
,
e
1
×
e
3
=
e
7
,
e
3
×
e
7
=
e
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{1}}
這個規則可以簡化為
e
i
×
e
i
+
1
=
e
i
+
3
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i+3}}
其中i = 1...7 mod 7，而指數i 、i + 1和i + 3可以循環移位。與反交換律結合，這個規則代表叉積。它直接產生乘法表中與零的對角線相鄰的兩個對角線。此外，根據內涵一節 的一個恆等式，
e
i
×
(
e
i
×
e
i
+
1
)
=
−
e
i
+
1
=
e
i
×
e
i
+
3
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \left(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}\right)=-\mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+3}}
這個規則能產生其他對角線，如此類推。
如果要求出叉積x × y 的e j 部分，我們可以選定乘法表中所有出現的e j ，然後收集左行的對應x 部分和上列的對應y 部分，結果為：
x
×
y
=
(
x
2
y
4
−
x
4
y
2
+
x
3
y
7
−
x
7
y
3
+
x
5
y
6
−
x
6
y
5
)
e
1
+
(
x
3
y
5
−
x
5
y
3
+
x
4
y
1
−
x
1
y
4
+
x
6
y
7
−
x
7
y
6
)
e
2
+
(
x
4
y
6
−
x
6
y
4
+
x
5
y
2
−
x
2
y
5
+
x
7
y
1
−
x
1
y
7
)
e
3
+
(
x
5
y
7
−
x
7
y
5
+
x
6
y
3
−
x
3
y
6
+
x
1
y
2
−
x
2
y
1
)
e
4
+
(
x
6
y
1
−
x
1
y
6
+
x
7
y
4
−
x
4
y
7
+
x
2
y
3
−
x
3
y
2
)
e
5
+
(
x
7
y
2
−
x
2
y
7
+
x
1
y
5
−
x
5
y
1
+
x
3
y
4
−
x
4
y
3
)
e
6
+
(
x
1
y
3
−
x
3
y
1
+
x
2
y
6
−
x
6
y
2
+
x
4
y
5
−
x
5
y
4
)
e
7
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{4}-x_{4}y_{2}+x_{3}y_{7}-x_{7}y_{3}+x_{5}y_{6}-x_{6}y_{5})\,&\mathbf {e} _{1}\\{}+(x_{3}y_{5}-x_{5}y_{3}+x_{4}y_{1}-x_{1}y_{4}+x_{6}y_{7}-x_{7}y_{6})\,&\mathbf {e} _{2}\\{}+(x_{4}y_{6}-x_{6}y_{4}+x_{5}y_{2}-x_{2}y_{5}+x_{7}y_{1}-x_{1}y_{7})\,&\mathbf {e} _{3}\\{}+(x_{5}y_{7}-x_{7}y_{5}+x_{6}y_{3}-x_{3}y_{6}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\,&\mathbf {e} _{4}\\{}+(x_{6}y_{1}-x_{1}y_{6}+x_{7}y_{4}-x_{4}y_{7}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\,&\mathbf {e} _{5}\\{}+(x_{7}y_{2}-x_{2}y_{7}+x_{1}y_{5}-x_{5}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3})\,&\mathbf {e} _{6}\\{}+(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}+x_{2}y_{6}-x_{6}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4})\,&\mathbf {e} _{7}\end{aligned}}}
本條目所用的兩個乘法表的法諾平面。 本條目使用了兩個乘法表，但七維向量乘法表不止這些。[ 5] 法諾平面 [ 12] [ 13] ijk → e i e j e k 第二個乘法表 中的e 1 結果由第二個法諾圖中連接e 1 的三個路徑得出：圓路徑e 2 × e 4 、斜路徑e 3 × e 7 和邊路徑e 6 × e 1 = e 5 。根據上述其中一個恆等式 ，第三個算式可以寫成：
e
6
×
(
e
6
×
e
1
)
=
−
e
1
=
e
6
×
e
5
{\displaystyle \mathbf {e} _{6}\times \left(\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}\right)=-\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{5}}
或
e
5
×
e
6
=
e
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1}}
此外，在法諾圖中，一條直線上的任意兩個單位向量與該直線上的第三個單位向量有叉積關係，且正負取決於箭頭（單位向量的排列）。
考慮到基向量的所有可能排列，總共有480個乘法表，所以總共有480種叉積。[ 13]
叉積也可以用幾何代數 計算。叉積以外積 （exterior product）開始，而外積是結果為二重向量 的兩個向量的積：
B
=
x
∧
y
=
1
2
(
x
y
−
y
x
)
{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} )}
外積是雙線性的，滿足交錯性且具有所求的大小，但結果不是向量。向量和叉積由這個二重向量的積或三重向量 贗純量 。上述二重向量與其中一個單位三重向量的積則是該二重向量的對偶 。
七維也有類似的計算方式，但由於三重向量組成一個35維空間，我們可以使用很多三重向量，但不是所有三重向量都有用。其積等於上述坐標變換的三重向量是
v
=
e
124
+
e
235
+
e
346
+
e
457
+
e
561
+
e
672
+
e
713
{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{124}+\mathbf {e} _{235}+\mathbf {e} _{346}+\mathbf {e} _{457}+\mathbf {e} _{561}+\mathbf {e} _{672}+\mathbf {e} _{713}}
與外積結合，得叉積為
x
×
y
=
−
(
x
∧
y
)
⌟
v
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =-(\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} )~\lrcorner ~\mathbf {v} }
其中
⌟
{\displaystyle \lrcorner }
[ 8] [ 14]
就像三維叉積可以用四元數 表示，七維叉積可以用八元數 表達。建立
R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
正交補 ）的關係後，叉積由以下方程以八元數乘法表示：
x
×
y
=
I
m
(
x
y
)
=
1
2
(
x
y
−
y
x
)
{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\mathrm {Im} (\mathbf {xy} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} )}
相反，設V 為一個叉積為某向量的七維歐幾里得空間，則我們可以在
R
⊕
V
{\displaystyle \mathbb {R} \oplus V}
(
a
,
x
)
(
b
,
y
)
=
(
a
b
−
x
⋅
y
,
a
y
+
b
x
+
x
×
y
)
{\displaystyle (a,\mathbf {x} )(b,\mathbf {y} )=(ab-\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ,a\mathbf {y} +b\mathbf {x} +\mathbf {x} \times \mathbf {y} )}
因此，具有該乘法的空間
R
⊕
V
{\displaystyle \mathbb {R} \oplus V}
[ 15]
叉積僅存在於三維和七維，因為我們必然可以在高一個維度的空間定義乘法，而該空間需要得證為賦範可除代數 。根據胡爾維茲定理 ，此類代數僅存在於1、2、4和8維，所以叉積必定存在於0、1、3和7維。零維和一維的叉積必然等於零，所以叉積僅存在於三維和七維。[ 16] [ 17]
七維叉積之所以不能滿足雅可比恆等式，是因為八元數不滿足交換律。事實上，
x
×
(
y
×
z
)
+
y
×
(
z
×
x
)
+
z
×
(
x
×
y
)
=
−
3
2
[
x
,
y
,
z
]
{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-{\frac {3}{2}}[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ]}
其中[x , y , z ]是結合子
在三維，叉積在旋轉群SO(3) 的作用下保持不變，所以x 和y 被旋轉後，它們的叉積是x × y SO(7) 的作用下並非不變，但它在SO(7)的子群G2 [ 8] [ 15]
非零二元叉積僅存在於三維和七維。如果取消二元積的限制，其他維度也可以有叉積。[ 18] [ 19] 多重線性 且滿足交錯性的，而且結果是一個正交於所有輸入向量a i n 維中，叉積最多只能接受n − 1超平行體 的體積，而它可以用格拉姆行列式 計算。叉積的條件是：
正交：
(
a
1
×
⋯
×
a
k
)
⋅
a
i
=
0
{\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1}\times \ \cdots \ \times \mathbf {a} _{k}\right)\cdot \mathbf {a} _{i}=0}
i
=
1
,
…
,
k
{\displaystyle i=1,\ \dots \ ,k}
格拉姆行列式：
|
a
1
×
⋯
×
a
k
|
2
=
det
(
a
i
⋅
a
j
)
=
|
a
1
⋅
a
1
a
1
⋅
a
2
⋯
a
1
⋅
a
k
a
2
⋅
a
1
a
2
⋅
a
2
⋯
a
2
⋅
a
k
⋮
⋮
⋱
⋮
a
k
⋅
a
1
a
k
⋅
a
2
⋯
a
k
⋅
a
k
|
{\displaystyle |\mathbf {a} _{1}\times \cdots \times \mathbf {a} _{k}|^{2}=\det(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j})={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\end{vmatrix}}}
格拉姆行列式是以a 1 , ..., a k
考慮到這些條件，非零叉積
在三維和七維中是二元積；
在n ≥ 3維中是n − 1個向量的積，而它是這些向量的外積的霍奇對偶 ；
在八維中是三個向量的積。 在八維中，三個向量的叉積可以用以下方程求出：
a
×
b
×
c
=
(
a
∧
b
∧
c
)
⌟
(
w
−
v
e
8
)
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \times \mathbf {c} =(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )~\lrcorner ~(\mathbf {w} -\mathbf {ve} _{8})}
v 是七維所用的三重向量，
⌟
{\displaystyle \lrcorner }
w = −ve 12...7
除此之外，如上文所述 ，零叉積存在於一維和零維。偶數維度也有其他「叉積」。它是一元函數，用適當的二重向量通過左縮併，輸出一個垂直於輸入向量但大小與其相同的向量。在二維中，這個運算相當於將向量經90度旋轉。
我們也可以解除多線性和大小的限制，考慮一個一般連續函數
V
d
→
V
{\displaystyle V^{d}\to V}
V
{\displaystyle V}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
d
≥
2
{\displaystyle d\geq 2}
叉積必定垂直於所有輸入函數。
如果輸入函數線性無關，則其叉積必定非零。 應用這些限制後，叉積只存在於
n
=
3
,
d
=
2
{\displaystyle n=3,d=2}
n
=
7
,
d
=
3
{\displaystyle n=7,d=3}
n
=
8
,
d
=
3
{\displaystyle n=8,d=3}
d
=
n
−
1
{\displaystyle d=n-1}
[ 1]
^ 1.0 1.1 1.2 WS Massey. Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces . The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). 1983, 90 (10): 697–701. JSTOR 2323537 doi:10.2307/2323537 ^ 2.0 2.1
WS Massey. Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces . The American Mathematical Monthly. 1983, 90 (10): 697–701. JSTOR 2323537 doi:10.2307/2323537 If one requires only three basic properties of the cross product ... it turns out that a cross product of vectors exists only in 3-dimensional and 7-dimensional Euclidean space.
^ G Gentili, C Stoppato, DC Struppa and F Vlacci. Recent developments for regular functions of a hypercomplex variable . Irene Sabadini ; M Shapiro; F Sommen (編). Hypercomplex analysis Conference on quaternionic and Clifford analysis; proceedings. Birkhäuser. 2009: 168. ISBN 978-3-7643-9892-7 ^ 4.0 4.1
Lev Vasilʹevitch Sabinin; Larissa Sbitneva; I. P. Shestakov. §17.2 Octonion algebra and its regular bimodule representation . Non-associative algebra and its applications. CRC Press. 2006: 235. ISBN 0-8247-2669-3
^ 5.0 5.1 5.2
Rafał Abłamowicz; Pertti Lounesto; Josep M. Parra. § Four octonionic basis numberings . Clifford algebras with numeric and symbolic computations. Birkhäuser. 1996: 202. ISBN 0-8176-3907-1
^
Mappings are restricted to be bilinear by (Massey 1993 ) harv模板錯誤: 無指向目標: CITEREFMassey1993 (幫助 ) and Robert B Brown & Alfred Gray. Vector cross products. Commentarii Mathematici Helvetici (Birkhäuser Basel). 1967, 42 (1/December): 222–236. S2CID 121135913 doi:10.1007/BF02564418
^ Francis Begnaud Hildebrand. Methods of applied mathematics Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd. Courier Dover Publications. 1992: 24. ISBN 0-486-67002-3 ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Lounesto, pp. 96–97
^ Kendall, M. G. A Course in the Geometry of N Dimensions . Courier Dover Publications. 2004: 19. ISBN 0-486-43927-5 ^ 10.0 10.1 Z.K. Silagadze. Multi-dimensional vector product. Journal of Physics A: Mathematical and General. 2002, 35 (23): 4949–4953. Bibcode:2002JPhA...35.4949S S2CID 119165783 arXiv:math.RA/0204357 doi:10.1088/0305-4470/35/23/310 ^
Nathan Jacobson. Basic algebra I Reprint of Freeman 1974 2nd. Dover Publications. 2009: 417–427. ISBN 978-0-486-47189-1
^ Rafał Abłamowicz; Bertfried Fauser. Clifford Algebras and Their Applications in Mathematical Physics: Algebra and physics . Springer. 2000: 26. ISBN 0-8176-4182-3 ^ 13.0 13.1 Jörg Schray; Corinne A. Manogue. Octonionic representations of Clifford algebras and triality. Foundations of Physics. 1996, 26 (1/January): 17–70. Bibcode:1996FoPh...26...17S S2CID 119604596 arXiv:hep-th/9407179 doi:10.1007/BF02058887 ArXive preprint （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ） Figure 1 is located here （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）.^ Bertfried Fauser. §18.4.2 Contractions . Pertti Lounesto; Rafał Abłamowicz (編). Clifford algebras: applications to mathematics, physics, and engineering. Birkhäuser. 2004: 292 ff . ISBN 0-8176-3525-4 ^ 15.0 15.1
John C. Baez . The Octonions (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc. 2002, 39 (2): 145–205. S2CID 586512 arXiv:math/0105155 doi:10.1090/s0273-0979-01-00934-x 原始內容 (PDF) 存檔於2010-07-07）.
^ Elduque, Alberto. Vector cross products (PDF) . 2004 [2023-11-17 ] . （原始內容存檔 (PDF) 於2011-06-08）. ^ Darpö, Erik. Vector product algebras. Bulletin of the London Mathematical Society. 2009, 41 (5): 898–902. S2CID 122615967 arXiv:0810.5464 doi:10.1112/blms/bdp066 Real vector product algebras. CiteSeerX 10.1.1.66.4 ^ Lounesto, §7.5: Cross products of k vectors in
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
, p. 98
^ Jean H. Gallier . Problem 7.10 (2) . Geometric methods and applications: for computer science and engineering . Springer. 2001: 244 . ISBN 0-387-95044-3
![{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-{\frac {3}{2}}[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1df21788077be1f4fa1af5ce928cb33af23730)
. doi:10.1088/0305-4470/35/23/310.
