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偽球面

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偽球面(英語:pseudosphere,又譯擬球面)是幾何學高斯曲率恆為負的平面。一半徑的偽球面,是中每點高斯曲率均為的平面。偽球面這個名稱是類比半徑的球面(曲率的平面),由貝爾特拉米於1868年雙曲幾何模型的論文提出。[1][2][3] 其為曳物線繞其漸近線的旋轉曲面

旋轉跟蹤曲面(Tractricoid

定義

對於平面上的曳物線,其參數方程.

當其繞z軸旋轉一圈時,根據旋轉曲面的一般參數方程[4],可得到曲面標準參數方程:

其中 .

該方程即為曳物面方程,又稱偽球面方程。

性質

偽球面是一個奇異空間 (赤道上的點為奇點) 。但在奇點外,它具有恆定的負高斯曲率,因此局部等距於雙曲面

「偽球」這個名字的產生是因為它是一個有恆定負高斯曲率的二維曲面,和一個球有恆定正高斯曲率恰恰相反。就像球體在每一點上都有一個正曲率的球面幾何一樣,偽球在除奇點每一點上都有一個負曲率的雙曲幾何

早在1693年,惠更斯(Christiaan Huygens)就發現儘管其旋轉後的範圍是無限的, 但偽球的體積和表面積是有限的。對於給定的偽半徑 R,偽球的表面積是,和同半徑·球面相同。

參考資料

  1. ^ Beltrami, Eugenio. Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea [Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry]. Gior. Mat. 1868, 6: 248–312 (意大利語). 
  2. ^ Beltrami, Eugenio. Opere Matematiche [Mathematical Works] 1. : 374–405. ISBN 1-4181-8434-9 (意大利語). 
  3. ^ Beltrami, Eugenio. Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne [Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry]. Annales de l'École Normale Supérieure. 1869, 6: 251–288 [2018-08-08]. (原始內容存檔於2016-02-02) (法語). 
  4. ^ 梅, 向明. 微分几何 第四版. 高等教育出版社. 2008. ISBN 9787040235722.