蘭利的不定角度問題

蘭利的不定角度問題

蘭利的80-80-20三角形問題解決方案

蘭利的不定角度問題（英語：Langley’s Adventitious Angles）是愛德華·曼·蘭利於1922年在《數學公報》中提出的數學問題。

問題

以其原始形式存在的問題如下：

在等腰三角形$ABC$中，

$\angle {B}=\angle {C}=80^{\circ }$，

作$CF$使$\angle {ACF}=30^{\circ }$交$AB$於$F$

作$BE$使$\angle {ABE}=20^{\circ }$交$AC$於$E$

證明：$\angle {BEF}=30^{\circ }$。

James Mercer在1923年發現了一種解決方案。 該解決方案通過畫一條輔助線，然後重複利用三角形的內角和為180°的定理，證明了在大三角形內繪製的幾個三角形都是等腰的。

畫$BG$使$\angle {GBC}=20^{\circ }$交$AC$於$G$，連接$FG$（請參見右下方的圖。 ）

因為$\angle {BCG}=80^{\circ }$且$\angle {CBG}=20^{\circ }$，所以$\angle {BGC}=80^{\circ }$並且三角形$BCG$等腰，$BC=BG$

因為$\angle {BCF}=50^{\circ }$且$\angle {CBF}=80^{\circ }$，所以$\angle {BFC}=50^{\circ }$並且三角形$BCF$等腰，$BC=BF.$

因為$\angle {FBG}=60^{\circ }$且$BF=BG$，所以三角形$BGF$等邊。

因為$\angle {BGE}=100^{\circ }$且$\angle {GBE}=40^{\circ }$，所以$\angle {GEB}=40^{\circ }$並且三角形$BGE$等腰，$GB=GE.$

因此，圖中所有紅線都相等。

因為$GE=GF$，因此三角形$EFG$等腰，$\angle {GEF}=70^{\circ }$。

因此$\angle {BEF}=30^{\circ }.$

也有許多其他解決方案。在相同的80-80-20三角形但內角不同的情況下，Cut the Knot列出了十二種不同解決方案和幾個替代問題。

概括

不定四邊形問題

對角線和邊之間的角度均為有理角度的四邊形（例如BCEF）稱為不定四邊形，當以度數或其他單位（以整圓為有理數）進行測量時，這些角度是有理數。除了蘭利難題中出現的四邊形外，還有其他許多的不定四邊形。它們形成了幾個無限的族和另外的零星集。

對不定形四邊形（不必是凸面的）進行分類，等同於對規則多邊形中對角線的所有三重交集進行分類。這是由Gerrit Bol在1936年解決的（Beantwoording van prijsvraag＃17，新烏奇維斯肯德18歲，第14-66頁）。實際上，他對正多邊形中的所有多個對角線交點進行了分類（儘管有一些錯誤）。 Bjorn Poonen和Michael Rubinstein在1998年用計算機確認了他的結果（全部由人工完成），並糾正了錯誤。 這篇文章包含了問題的歷史以及一張以規則三角和對角線為特徵的圖片。

2015年，一位匿名的日本女性使用筆名「aerile re」發布了第一個已知方法（3個外心的方法），以針對特殊類別的不定四邊形問題構造基本幾何的證明。這項工作解決了里格比（Rigby）在1978年的論文中列出的三個尚未解決的問題中的第一個。

外部連結

• Angular Angst, MathPages