初等矩陣
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線性代數中,初等矩陣(又稱為基本矩陣[1])是一個與單位矩陣只有微小區別的矩陣。具體來說,一個 n 階單位矩陣 E 經過一次初等行變換或一次初等列變換所得矩陣稱為 n 階初等矩陣。[2]
操作
初等矩陣分為3種類型,分別對應着3種不同的列/行變換。
- 兩列(行)互換:
- 把某列(行)乘以一非零常數:
- 其中
- 把第 i 列(行)加上第 j 列(行)的 k 倍:
初等矩陣即是將上述 3 種初等變換應用於一單位矩陣的結果。以下只討論對某列的變換。
列互換
此變換 Ti j 將單位矩陣的第 i 列的所有元素與第 j 列互換。
性質
把某列乘以一非零常數
此變換 Ti(m) 將第 i 列的所有元素乘以一個非零常數 m。
性質
- 逆矩陣為 。
- 此矩陣及其逆矩陣均為對角矩陣。
- 其行列式 ,故對所有階數相同的方陣 A 都有 。
把第 i 列加上第 j 列的 m 倍
此變換 Ti j(m) 將第 i 列加上第 j 列的 m 倍,其中 m 為第 i 行第 j 列的元素。
性質
- 逆矩陣具有性質 。
- 此矩陣及其逆矩陣均為三角矩陣。
- 其行列式 ,故對所有階數相同的方陣 A 有 。
應用
在解線性方程組中的應用
初等行變換不影響線性方程組的解,也可用於高斯消元法,用於逐漸將係數矩陣化為標準形。初等列變換不改變矩陣的核(故不改變解集),但改變了矩陣的像。反過來,初等行變換沒有改變像卻改變了核。
用於求解一個矩陣的逆矩陣
有的時候,當矩陣的階數比較高的時候,使用其行列式的值和伴隨矩陣求解其逆矩陣會產生較大的計算量。這時,通常使用將原矩陣和相同列行數的單位矩陣並排,再使用初等變換的方法將這個並排矩陣的左邊化為單位矩陣,這時,右邊的矩陣即為原矩陣的逆矩陣[3]。
另見
注釋
- ^ elementary matrix - 基本矩陣. 國家教育研究院. [2014-04-23]. (原始內容存檔於2014-09-13).
- ^ 藍以中. 高等代数简明教程(上册) 第二版. 北京大學出版社. : 123. ISBN 978-7-301-05370-6.
- ^ 戴立輝. 线性代数. 同濟大學出版社. ISBN 9787560843063.
參考
- Axler, Sheldon Jay, Linear Algebra Done Right 2nd, Springer-Verlag, 1997, ISBN 0387982590
- Lay, David C., Linear Algebra and Its Applications 3rd, Addison Wesley, August 22, 2005, ISBN 978-0321287137
- Meyer, Carl D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), February 15, 2001 [2010-07-02], ISBN 978-0898714548, (原始內容存檔於2001-03-01)
- Poole, David, Linear Algebra: A Modern Introduction 2nd, Brooks/Cole, 2006, ISBN 0-534-99845-3
- Anton, Howard, Elementary Linear Algebra (Applications Version) 9th, Wiley International, 2005
- Leon, Steven J., Linear Algebra With Applications 7th, Pearson Prentice Hall, 2006