橢圓的半長軸 (a) 和半短軸 (b)。
半長軸是幾何學中的名詞,用來描述橢圓和雙曲線的維度。與之對應的就是長軸,半長軸為長軸的一半,一般描述橢圓的最長的直徑。
橢圓
橢圓的方程式是:
![{\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60608b4a2a8c795ba807697cbfe30e915d11ee26)
其中(h, k)是笛卡爾坐標系中橢圓的中心,其中任意點由(x, y)給出。
半長軸是橢圓距焦點的最大和最小距離
和
的平均值— 即從焦點到長軸端點的距離
![{\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ed6d4463383abe7efce16fb5c47d837ef8ac5e)
在天文學中,這些極值點稱為拱點。
一個橢圓的長軸是內部最長的直徑,會通過中心和兩個焦點,末端結束於橢圓曲線最寬處。半長軸是長軸的一半,始於中心點經過一個焦點並終結於橢圓的邊界。在特殊狀況a=b中,半長軸就是半徑。
半長軸的長度
與半短軸
的關係可以經由離心率
和半正焦弦
推導如下:
![{\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2df1161094f67cbcccc0293220c8e5a9baf5891)
.
.
拋物線可以被視為是橢圓的極限,將一個焦點固定,而另一個焦點被隨意的移至無窮遠處的方向上,但
仍保持不變。因此
和
趨於無限大,
仍比
長。
半長軸是橢圓的一個焦點至邊界的最大距離和最小距離的平均值。現在考慮在極座標中的方程式,其中一個焦點位於原點,另一個焦點在x軸上,
.
均值由
和
,是
.
雙曲線(又稱半實軸)
雙曲線的半長軸是兩個分支之間距離的一半。如果a是在X-軸的方向上,則方程式可以表示為:
在這個項目中的半正焦弦和離心率如下:
雙曲線的橫軸延伸方向與半長軸的方向一致[1]。
天文學
軌道週期
某些太陽系軌道(十字表示開普勒值)的軌道週期 T 與半長軸 a(遠日點和近日點的平均值)的雙對數圖,顯示a3/T2是常數(綠線)
在太空動力學,以圓或橢圓軌道環繞中心天體運轉的小天體的軌道週期
,是:
![{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f454d3ecae15ea7887c1f3f40b0b80b0d6f711af)
此處:
,是軌道的半長軸
是標準重力參數
無論離心率是如何,半長軸相同的橢圓都有相同的軌道週期。
在天文學,是軌道的軌道元素中最重要的,他決定了軌道週期。對太陽系內的天體,半長軸與軌道週期的關係由克卜勒第三定律(原本只是經驗公式)來描述:
,
此處T是週期,單位為年;a是半長軸,單位為AU。這個形式就是牛頓的二體問題簡化後的形式:
,
此處G是重力常數,M是中心天體的質量,而m是軌道上天體的質量。通常,當中心天體的值量遠大於環繞的天體時,m的質量可以忽略不計。座著這樣的假設和簡化之後,克卜勒發現的以天文單位簡化的形式就出現了。
值得注意的是,在軌道上的天體和主要的天體環繞著質心運動的路徑都是橢圓形。在天文學上的半長徑總是主、伴兩星之間的距離,因此行星的軌道參數都是以太陽為中心的項目。在"主體為中心"和"絕對"軌道之間的差別通過對地月系統的認是說明可以有更清楚的認識。質量的比是81.30059,地心的月球軌道半長軸是384,400公里;另一方面,"質心"的月球軌道半長軸是379,700公里,兩著的差別是4,700公里。月球相對於質心的平均軌道速度是1.010公里/秒,地球是0.012公里/秒,兩者之和是1.022公里/秒;同樣的,以地心的半長軸得到的月球軌道速度也是1.022公里/秒。
平均距離
經常會說半長軸是主伴兩天體的平均距離,其實這樣說是不夠精確的,這與如何取得平均值有關。
- 對偏近點角(q.v.)的平均距離的確就是半長軸。
- 對真近點角(從焦點上測量的真實軌道角度)的結果,說也奇怪,是軌道半短軸:
。
- 最後,是對平近點角(以角度表示,經過近心點之後所經歷軌道週期的分數),是對時間的平均數(通常是對門外漢所謂的"平均"):
。
橢圓的平均半徑,是以幾何上的中心來測量的,其值為
。
時間的平均值與半徑成反比,
,是
。
能量:由狀態向量的半長軸計算
在太空動力學半長軸
,可以從軌道狀態向量得到:
(橢圓軌道)
(雙曲線彈道)
(特殊軌道能量)
(標準重力參數)
此處:
,是從速度向量得到的軌道上物體的軌道速度,
,是在笛卡爾坐標系上、相對於位置向量用於計算的軌道元素(即,對環繞地球的物體是以地球中心和赤道為基準,或對環繞太陽的天體是以太陽中心和黃道為基準),
,是重力常數,
,是中心天體的質量。
對特定的中心天體和總比能,無論離心率是多少,半長軸是一個定值。換言之,對特定的一個中心天體和半長軸,具有的總比能是一個定值。
例子
國際太空站的軌道週期是91.74分,它的軌道半長軸是6,738公里。
外部連結
參考資料