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圓叢

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數學中,(定向圓叢circle bundle)是一個纖維是圓周 的定向纖維叢,或更準確地,是一個U(1)-叢。它同倫等價線叢。在物理學中,圓叢是電磁學自然的幾何背景。圓叢是球叢的一個特例。

與電動力學的關係

麥克斯韋方程對應於一個用 2-形式 F 表示的電磁場,滿足 上同調於零。特別地,總存在一個 1-形式 A 使得:

給定 M 上一個線叢 P 及其投影

我們有同態

這裡 拉回。每個同態對應一個狄拉克單極Dirac monopole英語Dirac monopole);整係數上同調群對應於電荷的量子化。

例子

霍普夫纖維化是一類非平凡圓叢。

分類

流形 M 上圓叢的同構類一一對應於 M 的第二整上同調群 。這個同構由歐拉類實現。

等價地,同構類對應於從 M 到無窮維復射影空間 映射的同倫類,這是 U(1) 的分類空間。參見U(n)的分類空間

用同倫理論的話說,周圓與去掉原點的複平面是等價的。利用配叢構造,圓叢等價於光滑復線叢因為兩者的轉移函數都在 C* 中。在此情形,圓叢的歐拉類或實二維平面叢與線叢的第一陳類相同。

又見:王序列王憲忠

參考文獻