射影線性群是代數學里群論中的一類群的稱呼。射影線性群也叫射影一般線性群(一般記作 PGL),是某個係數域為
的向量空間V上的一般線性群在射影空間 P(V) 上誘導的群作用。具體來說,射影線性群是商群:
![{\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {GL}}(V)={\mathcal {GL}}(V){\bigg /}\mathbb {K} (V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15968deb0b2d701c68d7c6e32eeb5d927493c37)
其中的
是V上的一般線性群,而
是由V上的所有數乘變換構成的
的子群[1]。之所以在
中約去
,是因為它們在射影空間上的作用是平凡的(所以構成群作用的核)。
有時也被記作
,因為它是一般線性群的中心。
與射影線性群類似的還有射影特殊線性群,一般記作PSL。它的定義與射影線性群相似,只不過不是在一般線性群而是在特殊線性群上。
![{\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {SL}}(V)={\mathcal {SL}}(V){\bigg /}{\mathcal {SZ}}(V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb2ae1c7804eec4f7996c85311eae0f22cd85ca)
其中的
是V上的特殊線性群,而
是
在
中的子群(即行列式等於1的數乘變換構成的子群)[1]。顯然
是
的中心。若
(n 維空間),則
同構於由n 次單位根構成的群。
射影線性群與射影特殊線性群都是群論和幾何中最常研究的群,即所謂的「經典群」。射影線性群中的元素稱為射影線性變換。
(n 維空間),那麼這個射影線性群也記作
或
。
當且僅當
中每一個元素的n 次根都在
中,例如在
代數封閉(比如是複數域
)的時候,射影線性群與射影特殊線性群等同。
。但是係數域為實數的時候,就有
[2]。幾何的解釋是:實射影直線是有向的,而實射影特殊線性群只包括保持定向的變換。
射影線性群與射影特殊線性群也可以在環上定義,一個重要的例子是模群
。
參考來源