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希爾伯特矩陣

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線性代數中,希爾伯特矩陣是一種係數都是單位分數方塊矩陣。具體來說一個希爾伯特矩陣H的第i橫行第j縱列的係數是:

舉例來說,的希爾伯特矩陣就是:


希爾伯特矩陣的係數也可以看作是以下積分

也就是當向量是關於變量x 的各階時關於積分範數格拉姆矩陣

希爾伯特矩陣是低條件矩陣的典型例子。與希爾伯特矩陣的數值計算是十分困難的。舉例來說,當範數為矩陣範數時希爾伯特矩陣的條件數大約是,遠大於1。

性質

希爾伯特矩陣是對稱正定的矩陣。希爾伯特矩陣也是全正定矩陣,也就是說它的每個子矩陣的行列式都是正數。

希爾伯特矩陣是漢克爾矩陣的一種。

希爾伯特矩陣的行列式可以被表達為閉形式,算是柯西行列式的一種。一個的希爾伯特矩陣的行列式可以表達為:

其中

希爾伯特在其著作中已經注意到希爾伯特矩陣的行列式也是一個單位分數,並且有明確的表達式:

用關於階乘斯特靈公式,我們可以得到以下近似的結果:

其中當 的時候an 收斂於常數(其中的AGlaisher-Kinkelin常數)。

用二項式係數,希爾伯特矩陣的逆矩陣也可以表示為閉形式。一個的希爾伯特矩陣的逆矩陣的係數為:

也就是說,希爾伯特矩陣的逆矩陣的係數都是整數。

的時候,的希爾伯特矩陣的條件數近似為

參見

參考來源

  • David Hilbert, Collected papers, vol. II, article 21.
  • Beckermann, Bernhard. "The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices" in Numerische Mathematik. 85(4), 553--577, 2000.
  • Choi, M.-D. "Tricks or Treats with the Hilbert Matrix頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)" in American Mathematical Monthly. 90, 301–312, 1983.
  • Todd, John. "The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix" in National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series. 39, 109–116, 1954.
  • Wilf, H.S. Finite Sections of Some Classical Inequalities. Heidelberg: Springer, 1970.