幾乎處處

在測度論裡，若說一個性質為幾乎處處成立，即表示不符合此性質的元素組成的集合為一零測集，即其測度等於零的集合。當使用在實數的性質上時，若沒有另外提起則假定為勒貝格測度。

一個有全測度的集合是一個其補集為零測度的集合。

除了說一個性質幾乎處處成立之外，偶爾亦可以說一個性質是對幾乎所有元素成立的，即使幾乎所有這一詞有著其他的意義。

下面是包含有「幾乎處處」這一詞的一些定理：

• 若$f$ : $R$→$R$為一勒貝格可積函數且$f(x)$幾乎處處大於零，則

$\int f(x)\,dx\geq 0$。

• 若$f$ : $[a,b]$→$R$為一單調函數，則$f$幾乎處處可微。
• 當$f$ : $R$→$R$為勒貝格可積且對所有實數$a<b$，

$\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty$

則存在一零集E（根據$f$）使得若$x$不在$E$內，其勒貝格平均

${\frac {1}{2\epsilon }}\int _{x-\epsilon }^{x+\epsilon }f(t)\,dt$

便會收斂至$f(x)$，當ε趨向至零時。換句話說，$f$的勒貝格平均幾乎處處收斂至$f$。集合E則稱為$f$的勒貝格集合，且可以證明為零測度的。

• 若$f(x,y)$在$R^{2}$上為博雷爾可測的，則對幾乎所有$x$，函數$y$→$f(x,y)$為博雷爾可測的。

• 一有界函數$f$ : $[a,b]$->$R$為黎曼可積的，若且唯若其為幾乎處處連續的。

在實分析之外，「幾乎處處」一詞可以用極大濾子定義。例如在超實數的建構中，一個超實數被定義為相對於某一濾子幾乎處處相等的等價類。

在抽象代數及其相關領域中，「幾乎處處」通常指某性質只對給定集合中的有限個元素不成立。

在概率論裡，這一詞變成了「幾乎必然」，「幾乎確定」或「幾乎總是」，相對於一為1的概率。

參考

• Billingsley, Patrick. Probability and measure 3rd edition. New York: John Wiley & sons. 1995. ISBN 978-0-471-00710-4.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)

• Halmos, Paul R. Measure Theory. New York: Springer-Verlag. 1974. ISBN 978-0-387-90088-9.