應力-能量張量,也稱應力-能量-動量張量、能量-應力張量、能量-動量張量、簡稱能動張量,在物理學中是一個張量,描述能量與動量在時空中的密度與通量(flux),其為牛頓物理中應力張量的推廣。在廣義相對論中,應力-能量張量為重力場的源,一如牛頓重力理論中質量是重力場源一般。應力-能量張量具有重要的應用,尤其是在愛因斯坦場方程式。
定義
請注意我們將全程使用到愛因斯坦取和原則。當用到座標表示,x0代表時間,其他座標項x1, x2及x3則為剩下的空間分量。
應力-能量張量為一個二階張量
,給出四維動量或4-動量之a分量通過一座標為常數xb之表面的通量。
另外要注意的是應力-能量張量是對稱(當自旋張量為零時),亦即
![{\displaystyle T^{ab}=T^{ba}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee2af4bd813d4121045bbd583009ccb8bead864)
若自旋張量S非零,則
![{\displaystyle \partial _{\alpha }S^{\mu \nu \alpha }=T^{\mu \nu }-T^{\nu \mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67bf1b62dc9d5998e370e62146373ad419a8b67)
例子
此處舉出一些特例:
![{\displaystyle T^{00}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14da610abd2fec0866849b653cc22f773487150d)
代表能量密度。
![{\displaystyle T^{0i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2e1f82998ffd0eb9043695a6fb10cadbd48dcf)
代表能量通過xi表面之通量,等同於
![{\displaystyle T^{i0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59574fe7b4f3b749886006484098f5a00a960d15)
第i 動量之密度。
分量
![{\displaystyle T^{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17b4b8ce4ed17b17367d929290b773eab79b6976)
代表i 動量通過xj表面之通量。其中較特別的是:
![{\displaystyle T^{ii}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e718a5ba1930db7735245d7321f933b9d7f95b2f)
代表一個類似壓力與張應力的物理量——正向應力(normal stress),而
![{\displaystyle T^{ij},\quad i\neq j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0743751f383f785b6cb31155df23eb1c539af1f4)
代表剪應力(shear stress)。
提醒:在固態物理與流體力學中,應力張量所指為應力-能量張量於共動參考系(comoving frame of reference)的空間分量。換句話說,工程學中的應力-能量張量與此處由動量對流項(momentum convective term)表示的應力-能量張量有所差異。
作為諾特流(Noether current)
應力-能量張量滿足連續性方程式(continuity equation)
.
此一物理量
![{\displaystyle \int d^{3}xT^{a0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f588da330e87853cbd843e33c016eae0015a9dfd)
是對一類空切面積分,得出能量-動量向量。分量
因此可以詮釋為(非重力的)能量與動量之局域密度,而連續性方程式的第一分量
![{\displaystyle \nabla _{b}T^{0b}=\nabla \cdot \mathbf {p} -{\frac {\partial E}{\partial t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d7a349cac06179176ea2f25aad1e6410eef512)
則單純是能量守恆的表述。空間分量
(i, j = 1, 2, 3)則對應到局域非重力的應力分量,其中包括了壓力。此一張量為與時空移動相應的守恆諾特流(Noether current)。
於廣義相對論中
上面所給的關係並不唯一決定此張量。在廣義相對論中,對稱形式的張量,也就是額外滿足
![{\displaystyle T^{ab}=T^{ba}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8198ff9da5f6df6422d61fe86cc18382cf57b14c)
的關係的張量成為時空曲率的源,並且是與規範變換(gauge transformation)相應的流密度(current density),在此是以座標變換為例。若有扭率(torsion),則此張量就不再是對稱的。這對應到非零自旋張量的例子。參見愛因斯坦-嘉當重力。
在廣義相對論中,平直時空所用的偏導數(偏微分,partial derivative)修改為協變導數(covariant derivative)。這表示連續性方程式中用張量表示的能量和動量不是絕對地守恆。在牛頓重力的古典極限,這一點有一個簡單的解釋:與引力位能互相交換的能量,它沒有包含在能動張量中,而動量是通過場傳遞到其他物體。然而在廣義相對論中,無法定義對應「重力場」能量密度與動量密度的物理量;任何意圖要定義這些密度的膺張量(pseudo-tensor)均可以透過一個座標轉換使它們局域地消失為零。一般情況下,對於應力─能量張量只是部分的"協變守恆",我們必須感到心滿意足。
在彎曲時空中,一般而言類空積分依賴於類空截面。事實上在一般的彎曲時空中是無法定義一個全局的能量─動量張量(原文誤為'vector')。
愛因斯坦場方程式
在廣義相對論中,應力-能量張量主要出現在愛因斯坦場方程式的研究題材中,方程式常寫為:
![{\displaystyle R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}R\,g_{\alpha \beta }={8\pi G \over c^{4}}T_{\alpha \beta },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ae86443ae2c8236d9051d7b06d19b381fd8a47)
其中
為里奇張量,
為里奇純量(對里奇張量做張量縮併(tensor contraction)而得),以及
為宇宙重力常數(universal gravitational constant).
特殊情況下的應力-能量張量
孤立粒子
在狹義相對論中,質量為m的無相互作用粒子的應力-能量張量為:
![{\displaystyle T^{\alpha \beta }[t,x,y,z]={\frac {m\,v^{\alpha }[t]v^{\beta }[t]}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\delta (x-x[t])\delta (y-y[t])\delta (z-z[t])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d05e5b204dd8363083b9acb2ec5398336823a2)
其中δ是狄拉克δ函數,
是速度矢量:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}v^{0}[t]\\v^{1}[t]\\v^{2}[t]\\v^{3}[t]\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\{dx[t] \over dt}\\{dy[t] \over dt}\\{dz[t] \over dt}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d6c06266fc1ec793c7ee8e39fe045aed4058e7)
處於平衡狀態下的流體的應力-能量張量
對於處於熱平衡狀態下的流體,應力-能量張量具有一個特別簡單的形式:
![{\displaystyle T^{\alpha \beta }\,=(\rho +{p \over c^{2}})u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3d9fc32c1318805b29dc01065dd8baaac0fa28)
其中
是質量-能量密度(牛頓每立方米),
是流體靜壓力(牛頓每平方米),
是流體的四維速度,
是度量張量的逆。
四維速度滿足:
![{\displaystyle u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f54dfb0dae403cde941b3e2fdf58381c20702f63)
在隨流體一起移動的慣性參考系中,四維速度為:
![{\displaystyle u^{\alpha }=(1,0,0,0)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/587820468f4145c453f69bc67e2928668209327d)
度量張量的倒數為:
![{\displaystyle g^{\alpha \beta }\,=\left({\begin{matrix}-c^{-2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7abe6101f9d1c4c8d9db60e4fc62793f065102)
應力-能量張量是一個對角矩陣:
![{\displaystyle T^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0099003483319a804197ee399a5489f040099715)
電磁應力-能量張量
一個無源電磁場的應力-能量張量為:
![{\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ae57b109d39c2d739a682794a2c5ac31fda070)
其中
是電磁張量。
標量場
滿足克萊因-戈爾登方程的標量場
的應力-能量張量為:
![{\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta })\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49580fc6c77713d0b86d808cd009517430ef01c8)
各式各樣的應力-能量張量
存在有一些互不相等的應力-能量張量。
正則(Canonical)應力-能量張量
其為與時空平移相關的諾特流。
希爾伯特應力-能量張量
應力-能量張量在廣義相對論中僅能以動態度規來定義。其定義成一個泛函導數(functional derivative)
![{\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\mathcal {S}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76ac10626b1045e6fb907ad3f59a30284700182)
其中Smatter是作用量的非重力部份,為對稱的且有規範不變性。
Belinfante-Rosenfeld應力-能量張量
贗張量(Pseudotensors)
贗張量的例子有愛因斯坦贗張量與藍道-里夫須茲贗張量(Landau-Lifschitz pseudotensor)。
相關條目
外部連結