線性代數
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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方塊矩陣,也稱方陣、方矩陣或正方矩陣[1],是行數及列數皆相同的矩陣。由
矩陣組成的集合,連同矩陣加法和矩陣乘法,構成環。除了
,此環並不是交換環。
M(n, R),即實方塊矩陣環,是個實有單位的結合代數。M(n, C),即複方塊矩陣環,則是複結合代數。
單位矩陣
的對角線全是1而其他位置全是0,對所有
矩陣
及
矩陣
都有
及
。
例如,若
:
![{\displaystyle I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9fa091304cdb4b481f31ea3901e771ca39491b)
單位矩陣是方塊矩陣環的單位元。
方塊矩陣環的可逆元稱為可逆矩陣或非奇異方陣。
矩陣
是可逆當且僅當存在矩陣
使得
。
此時
稱為
的逆矩陣,並記作
。
所有
矩陣在乘法上組成一個群(亦是一個李群),稱為一般線性群。
若數字
和非零向量
滿足
,則
為
的一個特徵向量,
是其對應的特徵值。數字
為
的特徵值當且僅當
可逆,又當且僅當
。這裏,
是
的特徵多項式。特徵多項式是一個
次多項式,有
個復根(考慮重根),即
有
個特徵值。
方塊矩陣
的行列式是其
個特徵值的積,但亦可經由萊布尼茨公式計算出來。可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣。
高斯-若爾當消元法非常重要,可以用來計算矩陣的行列式,秩,逆矩陣,並解決線性方程組。
矩陣的跡是
矩陣的對角線元素之和,也是其
個特徵值之和。
所有正交矩陣都是方塊矩陣。
方塊矩陣的等價命題
線性代數中,下列關於方塊矩陣A的命題是等價的(同時成立,或同時不成立):
- A 可逆 ; A的反矩陣存在。
- det(A) ≠ 0 。
- rank(A) = n 。
- Null(A) = 0 。
- A的特徵值中沒有0。
- 對任意b屬於Fn,Ax = b有唯一解。
- Ax = 0只有平凡解。
- ATA可逆。
- A與單位矩陣行(列)等價。
- A的行向量或列向量張成Fn 。
- A的零空間只有零向量。
- A的值域為Fn 。
- A的行(列)向量構成Fn (Fn)中向量的線性無關集。
這裡,F為矩陣元素所屬的域。通常,這個域為實數域或複數域。
參考資料