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映射度

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拓撲學中,兩個同維數流形之間的連續映射度數degree)非正式地說是一個點被蓋住的次數。一個映射的度數可用同調群,或(對光滑映射)正則值原像定義。它是卷繞數的一個推廣。例如,考慮複平面上映射 zn,視為 S2 到自身的映射,具有度數 n,它將球面繞自身纏了 n 圈。

物理學中,連續映射的度數,比如從空間到有序參數集的一個映射,是拓撲量子數的一個例子。

從一個圓周到自身

最簡單也最重要的例子是從圓周到自身一個連續映射的度數(這稱為卷繞數):

存在投影:

,

這裡 [x] 是 x 1 等價類(即 當且僅當 是整數)。

如果

連續則存在一個連續映射

稱為 f提升,使得 f([z]) = [F(z)]。這樣一個提升在差一個整數相加下惟一確定,且

注意到

是一個整數且關於 也連續;實數線上局部常值函數一定是常數。從而此定義與 的選擇無關。

流形之間

代數拓撲

XY 是一個閉連通定向 m-維流形。流形的定向性蘊含最高階同調群同構於 Z。選取一個定向意味着選取最高階同調群的一個生成元。

一個連續映射 f : XY 誘導從 Hm(X) 到 Hm(Y) 的同態 f*。設 [X] 是選定的 Hm(X) 的生成元,或言 X 基本類。則 f度數定義為f*([X])。換句話說,

如果 y 屬於 Yf-1(y) 是一個有限集合,f 的度數可以通過考慮 Xf-1(y) 每個點的 m-階局部同調群計算出來。

微分拓撲

微分拓撲的語言中,一個連續映射的度數可如下定義:如果 f 是一個連續映射,定義域是一個緊流形,設 pf 的一個正則值,考慮有限集合

p 是一個正則值,在每個 xi 的一個鄰域中映射 f 是局部微分同胚(這是一個覆蓋映射)。微分同胚可以為保持定向或反定向。設 rxif 保持定向的個數,而 s 是反定向的個數。當 f 的定義域是連通的,數 r - sp 的選取無關,我們定義 f 的度數為 r - s。這個定義與上一節代數拓撲定義重合。

同樣的定義對帶邊界的緊流形也成立,但此時 f 需將 X 的邊界送到 Y 的邊界。

我們也可以像上面一樣類似定義模 2 度數 (deg2(f)),取 Z2 同調中的基本類即可。在此情形 deg2(f) 是 Z2 中一個元素,流形不要求可定向。與上類似,如果 np 原像的個數,則 deg2(f) 是 n 模 2。

微分形式的積分給出 (C-)奇異同調德拉姆上同調之間的一個配對:<[c], [ω]> = ∫cω,這裡 [c] 是由圈 c 代表的同調類,ω 是代表一個德拉姆上同調類的一個閉形式。對定向 m-維流形之間的一個連續映射 f : XY,我們有

這裡 f*f* 分別是在鏈與形式上的誘導映射。因為 f*[X] = deg f · [Y],我們有

對任意 Ym-形式 ω

性質

從球面到自身度數為 2 的一個映射。

映射度是同倫不變量;而且從球面到自身的連續映射是完全同倫不變量,即兩個映射 同倫當且僅當

換句話說,度數是一個同構

相關條目

參考文獻

  • Flanders, H. Differential forms with applications to the physical sciences. Dover. 1989. 
  • Hirsch, M. Differential topology. Springer-Verlag. 1976. ISBN 0-387-90148-5.