曼德爾球

一個光線跟蹤的3維曼德爾球圖像
迭代於$z\mapsto z^{8}+c$

曼德爾球（Mandelbulb）是一個三維的曼德博集合的模擬，由丹尼爾·懷特和保羅·尼蘭德採用球坐標構造。

因為沒有複數的二維空間的三維類似物，因此不存在規範的三維曼德博集合。可以使用四元數的4個維度構建曼德博集合。然而，這樣構建的集合不能和二維的那樣在所有尺度上表現細節。

懷特和尼蘭德關於三維矢量$\langle x,y,z\rangle$的$n$次方公式為

$\langle x,y,z\rangle ^{n}=r^{n}\langle \sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\sin(n\phi ),\cos(n\theta )\rangle$

其中

${\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\phi &=\arctan(y/x)=\arg(x+yi)\\{\rm {and\ }}\theta &=\arctan({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}/z)=\arccos(z/r).\end{aligned}}$

他們使用迭代$z\mapsto z^{n}+c$，其中「$z^{n}$」定義如上，「$+$」是矢量相加。當$n>3$，其結果是一個三維的球狀物，有分形的表面和由參數$n$控制的葉子。他們的很多圖形表現採用$n=8$的設置。

外部連結

• Mandelbulb: The Unravelling of the Real 3D Mandelbrot Fractal, on Daniel White's website （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Several variants of the Mandelbulb, on Paul Nylander's website （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• An opensource fractal renderer that can be used to create images of the Mandelbulb （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Formula for Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb by Jules Ruis （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb with examples of real 3D objects （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Video : View of the Mandelbulb （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）