杖頭線

杖頭線的圖，a = 1

杖頭線（Kampyle of Eudoxus）是笛卡兒坐標系方程如下的曲線

$x^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2}),$

但不包括x = y = 0的解。

另一種表示法

在極座標下，杖頭線的方程如下

$r=a\sec ^{2}\theta .$

其參數式為

$x=a\sec(t),\quad y=a\tan(t)\sec(t).$

歷史

希臘天文學家及數學家歐多克索斯（c. 408 BC – c.347 BC）有研究此一四次曲線，和求解經典的倍立方問題有關。

性質

杖頭線對X軸及Y軸對稱，和X軸交點為(±a,0)，其拐點在

$\left(\pm a{\frac {\sqrt {6}}{2}},\pm a{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$

（四個拐點，每個象限各一個）。曲線上半部在$x\to \infty$時漸近$x^{2}/a-a/2$ as $x\to \infty$，可以寫成

$y={\frac {x^{2}}{a}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}={\frac {x^{2}}{a}}-{\frac {a}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left({\frac {a}{2x}}\right)^{2n},$

其中

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}$

是第$n$個卡塔蘭數。

參考資料

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications. 1972: 141–142. ISBN 0-486-60288-5. 

外部連結

• 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Kampyle of Eudoxus, MacTutor數學史檔案 （英語） 
• 埃里克·韋斯坦因. Kampyle of Eudoxus. MathWorld.