極限比較審斂法

極限比較審斂法是判別級數斂散性的一種方法。

描述

假設存在兩個級數$\Sigma _{n}a_{n}$與$\Sigma _{n}b_{n}$，且對於任意$n$都有$a_{n},b_{n}\geq 0$。

如果$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$（$0<c<\infty$），那麼兩級數同時收斂或發散。

證明

對$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$，我們知道對於任意$\varepsilon >0$都存在一正整數$n_{0}$使得當$n\geq n_{0}$ 時有$\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$，等價於

$-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon$

$c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon$

$(c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$

由於$c>0$，我們可以讓$\varepsilon$足夠小使得$c-\varepsilon$為正。 因此$b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$，根據比較審斂法，如果$\sum _{n}a_{n}$收斂，則$\sum _{n}b_{n}$同樣收斂。

類似地，$a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$，如果$\sum _{n}b_{n}$收斂，根據比較審斂法，$\sum _{n}a_{n}$亦收斂。

因此二者同時收斂或發散。

例子

判斷$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}$是否收斂。我們將其與收斂級數$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$進行比較。

由於$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$，我們可以得出原級數收斂。

參見

• 審斂法
• 比較審斂法

參考來源

• Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 9780817682897, pp. 50 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）)
• J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）)

外部連結

• Pauls Online Notes on Comparison Test