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正規數

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數學上,粗略來說,正規數Normal Number)指,數字顯示出隨機分布,且每個數字出現機會均等的實數。「數字」指的是小數點前有限個數字(整數部份),以及小數點後無窮數字序列(分數部份)。

b是大於1的整數x實數。考慮以b為底的位值記數法x的數字序列。若s是以b為底的有限數字序列,我們以N(s,n)表示字串sx的開首n個數字出現次數。數x稱為b為底正規,若對任意長度k的字串s

(即是說在x的數字中找到字串s概率,就像在完全隨機生成的數字序列中的一樣)。x稱為正規數(有時稱為絕對正規數),如果以任何b為底x都是正規。

這個概念是由埃米爾·博雷爾在1909年創造。用波萊爾-坎泰利引理,他證明了正規數定理:幾乎所有實數是正規的,意思是非正規數集合的勒貝格測度為0。這定理證明存在正規數,但首先給出一個例子的是瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基(Wacław Sierpiński)。

非正規數集合是不可數的,這個結果容易得出,想法是從每個實數中完全除去一個數字。

錢珀瑙恩數(Champernowne)

0.1234567891011121314151617...

是從連結所有自然數的數字而得出的數,它以10為底正規,但可能在某些底不是正規。

克柏蘭-爾杜斯常數(Copeland-Erdős)

0.235711131719232931374143...

從連結所有質數的數字而得出的數,也是以10為底正規。

無論在任何底下均沒有為正規數的有理數,因為它們的數字序列最終會循環出現。瓦茨瓦夫·謝爾品斯基在1917年給出第一個明確構造的一個正規數。韋羅妮卡·比徹(Verónica Becher)和桑蒂亞戈·菲蓋拉(Santiago Figueira)構造一個可計算英語Computable number正規數;柴廷常數給出一個不可計算的正規數例子。

要證明一個不是明確構造為正規數的數的正規性非常困難。例如2的平方根圓周率(2000年時數學家證明了π的2進數-正規性可以由一個有關混沌理論的合理但尚未證明的猜想導出[1] [2])、2的自然對數e是否正規仍不知道。(但基於實驗證據,猜想它們很可能是正規數。)證明仍遙不可及:就連哪些數字在這些常數的10進表示法無窮次出現仍不知道。大衛·貝利(David H. Bailey)和理查德·克蘭德爾(Richard E. Crandall)在2001年猜想每個無理代數數是正規的,雖沒有找到反例,卻還沒有一個這樣的數被證明在每個底都是正規的。

參考

  1. ^ Weisstein, Eric W. (編). Normal Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2007-11-10]. (原始內容存檔於2021-04-02) (英語). 
  2. ^ Preuss, Paul. Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key. Lawrence Berkeley National Laboratory. 2001-07-23 [2007-11-10]. (原始內容存檔於2007-10-20). 
  • Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "On the Random Character of Fundamental Constant Expansions." Experimental Mathematics 10, 175-190, 2001. online version
  • Becher, V. and Figueira, S. "An example of a computable absolutely normal number", Theoretical Computer Science, 270, pp. 947-958, 2002.
  • Borel, E. "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques." Rend. Circ. Mat. Palermo 27, 247-271, 1909.
  • Champernowne, D. G. "The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten." Journal of the London Mathematical Society 8, 254-260, 1933.
  • Sierpiński, W. "Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres absolutment normaux et détermination effective d'un tel nombre." Bull. Soc. Math. France 45, 125-144, 1917.