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離散傅立葉級數

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離散傅里葉級數(DFS)與連續傅立葉級數相比有很大的區別。最大的不同在於離散時間傅里葉級數的係數序列是周期的。

離散傅里葉級數的公式

周期為N的周期序列,其離散傅里葉級數為

其中,DFS的逆變換序列:

(k=<N>表示對一個周期N內的值求和)

進一步分析

連續周期信號的離散化(下面的討論中,):

  1. 首先,在傅里葉級數一文中,我們知道函數是對於任意的T是周期為T的函數,然而其對應的離散信號則不一定是周期的,可以證明,只有當是有理數時,離散信號f[n]才是周期函數。
  2. 其次,在滿足條件1的前提下,連續周期信號對應的離散信號對k也具有周期性,其周期為N,即中只有N個不同的序列。
  3. 從離散時間傅里葉變換的係數公式我們可以看出,也是對k周期為N的函數。
  4. 離散傅里葉變換實際上是離散時間傅里葉級數在主值區間上的取值。我們注意到,離散傅里葉變換是對非周期函數f[n]進行的,如果我們對f[n]的定義拓廣為周期函數f'[n]:。並且當時,f'[n]實際上就是f[n],那麼我們現在可以求出f'[n]的傅里葉級數。同樣,當時無窮級數變成了積分,得到的結果是一個連續的周期函數(正如離散傅里葉變換一文中所述),這就是f[n]的離散時間傅里葉變換。這時,只需在它的主值區間上採樣,就可以得到離散傅里葉變換的變換序列。

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