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線性近似

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在 (a, f(a)) 處的切線

數學中,線性近似就是用線性函數對普通函數進行近似。這個線性函數稱為仿射函數

例如,有一個實數變量的可導函數 f,根據 n=1 的泰勒公式

其中 是餘數。捨去餘數就是線性近似:

x 無限接近於 a 的時候這個等式成立。右側的表示是 f 在點 (a, f(a)) 處的切線,因此這個過程也叫作切線近似

我們也可以對以向量作為變量的向量函數作線性近似,這時在該點的導數用雅可比矩陣代替。例如,一個有實數變量的可導函數 ,可以用函數 在接近 點處的值來近似

方程右側是 在點 處的平面切線。

在更具普遍意義的巴拿赫空間上,

其中 是函數 處的 Fréchet 導數

例子

可以通過下面的過程求得 的值。

  1. 設函數 ,問題簡化為求 的值。
  2. 可以得到
  3. 根據線性近似
  4. 結果 2.926 非常接近於實際值 2.924