鉛直叢

在數學微分幾何領域，一個光滑纖維叢的鉛直叢（vertical bundle）是切叢的一個子叢，由所有和纖維相切的向量組成。更具體地，如果 π:E→M 是一個光滑流形 M 上一個光滑纖維叢，設 e ∈ E 滿足 π(e)=x ∈ M，則在 e 處的鉛直空間（vertical space） V_eE 是纖維 E_x 包含 e 的切空間 T_e(E_x)。這就是， V_eE = T_e(E_π(e))。從而鉛直空間是 T_eE 的一個子空間，所有鉛直空間的並是 TE 的一個子叢 VE，這便是 E 的鉛直叢。

鉛直叢是微分 dπ:TE→π^-1TM 的核，這裡 π^-1TM 是拉回叢；用符號表示，V_eE=ker(dπ_e)。因為 dπ_e 在每一點 e 是滿射，它得出了商叢 TE/VE 與拉回 π^-1TM 的一個典範等價。

E 上一個埃雷斯曼聯絡是選取 VE 在 TE 中的一個補子叢，稱為這個聯絡的水平叢（horizontal bundle）。

例子

光滑纖維叢一個簡單的例子是兩個流形的笛卡兒積。考慮叢 B₁ := (M × N, pr₁) 帶有叢投影 pr₁ : M × N → M : (x, y) → x。則鉛直叢便是 VB₁ = M × TN，這是 T(M×N) 的一個子叢。如果我們取另一個投影 pr₂ : M × N → N : (x, y) → y 來定義纖維叢 B₂ := (M × N, pr₂) 則鉛直叢將為 VB₂ = TM × N。

在這兩種情形，乘積結構給出了水平叢的自然選取，導致一個埃雷斯曼聯絡：B₁ 的水平叢是 B₂ 的鉛直叢，反之亦然。

參考文獻

• Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157333.