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阿羅悖論

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阿羅不可能定理(英語:Arrow's impossibility theorem)或阿羅悖論Arrow's paradox)指的是諾貝爾獎得主肯尼斯·阿羅提出的一項社會理論。其描述的是在有三個以上的選項時,沒有任何「排名投票」機制可以既把個人偏好的排名轉變為代表整個群體的排序,而且還兼顧普遍性(不考慮特別限制以外的所有民眾都能投票)、非獨裁(並非由唯一選民決定結果)、帕累托效率(有人變好就要有人變差),以及獨立性(不相干的人投票不應連動)。

命題

有 N 種選擇,有 m 個決策者,他們每個人都對這 N 個選擇有一個從優至劣的排序。我們要設計一種選舉法則,使得將這 m 個排序的資訊彙總成一個新的排序,稱為投票結果。我們希望這種法則滿足以下條件:

一致性 (unanimity)
或稱為「帕累托效率」 (Pareto efficiency)。即如果所有的 m 個決策者都認為選擇 a 優於 b,那麼在投票結果中,a 也優於 b。
非獨裁 (non-dictatorship)
不存在一個決策者 X,使得投票結果總是等同於 X 的排序。
獨立於無關選項 (independence of irrelevant alternatives, IIA)
如果現在一些決策者改了主意,但是在每個決策者的排序中,a 和 b 的相對位置不變,那麼在投票結果中 a 和 b 的相對位置也不變。

那麼,如果 N 大於等於 3,我們不可能設計出這種制度。

例子

例如,某日人們舉辦一個投票,這個投票問卷只有一個問題,包含若干個選項,投票者根據自己的偏好給這幾個選項排序。人們希望滿足以下幾個條件:

  • 投票的結果應該能表現出多個參加者的偏好,而不是某個人的偏好。
  • 它應該能體現所有參加者的偏好,並且如果有2次投票所有人投的票相同,結果也一定相同。
  • 如果人們改變了某2個選項的相對優先級,那麼這變化不應該影響其他選項的相對優先級。
  • 如果一個人提高了某個選項的優先級,那麼在結果中,這個選項的優先級不能因此下降。
  • 所有結果的排序都應該是可能達到的。

阿羅的結論是,如果有2個或以上的人參加投票,並且問題有3個或以上的選項,那麼以上的這些條件不可能同時滿足。

參考文獻

書籍

外部連結

  • Tang, Pingzhong; Lin, Fangzhen. Computer-aided Proofs of Arrow's and Other Impossibility Theorems. Artificial Intelligence. 2009, 173: 1041–1053. doi:10.1016/j.artint.2009.02.005. 

參見