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雅可比坐標

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二體問題的雅可比坐標系為質心坐標 和相對坐標 ;其中, [1]
四體問題一個可能的雅可比坐標系。r1, r2, r3為雅可比坐標,R為質心。[2]

在多體系統的研究中,常用雅可比坐標來簡化數學計算。這一坐標系統可以用於多個領域,尤其是天體物理[3],以及多原子分子和化學反應[4] 。一個用於N體問題建立雅可比坐標的算法是利用二叉樹[5]。這一算法可以這樣描述:

質量分別為mjmk的兩個物體用一個質量為M = mj + mk的虛擬物體代替。同時,用相對坐標向量rjk = xj − xk和質心坐標向量Rjk = (mj qj + mkqk)/(mj + mk)來替代兩個物體原來的坐標向量xjxk。二叉樹中的一個節點即為這一虛擬物體。它有兩個子節點,左子節點為mk,右子節點為mj。對N-1個物體重複以上步驟。

四體問題的結果是[2]

其中:

向量R是所有物體的質心:

參考資料

  1. ^ David Betounes. Differential Equations. Springer. 2001: 58; Figure 2.15. 
  2. ^ 2.0 2.1 Patrick Cornille. Partition of forces using Jacobi coordinates. Advanced electromagnetism and vacuum physics. World Scientific. 2003: 102 [2012-11-18]. ISBN 981-238-367-0. (原始內容存檔於2020-08-11). 
  3. ^ 示例見Edward Belbruno. Capture Dynamics and Chaotic Motions in Celestial Mechanics. Princeton University Press. 2004: 9. ISBN 0-691-09480-2. 
  4. ^ John Z. H. Zhang. Theory and application of quantum molecular dynamics. World Scientific. 1999: 104. ISBN 981-02-3388-4. 
  5. ^ Hildeberto Cabral, Florin Diacu. Appendix A: Canonical transformations to Jacobi coordinates. Classical and celestial mechanics. Princeton University Press. 2002: 230. ISBN 0-691-05022-8.