雙極圓柱坐標系

雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是 $\sigma$-等值曲線，藍色圓圈則是 $\tau$-等值曲線。

雙極圓柱坐標系（英語：Bipolar cylindrical coordinates）是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系 ，則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點 $F_{1}$ 與 $F_{2}$ ，其直角坐標 $(x,\ y)$ 分別設定為 $(-a,\ 0)$ 與 $(a,\ 0)$ 。延伸至三維空間，這兩個焦點分別變成兩條直線，$L_{1}$ 與 $L_{2}$ ，稱為焦線。

基本定義

雙極圓柱坐標 $(\sigma ,\ \tau ,\ z)$ 通常定義為

$x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$ 、

$y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$ 、

$z=z$ ；

其中，點 $P$ 的 $\sigma$ 坐標等於 $\angle F_{1}PF_{2}$ 的弧度，$\tau$ 坐標等於 $d_{1}=F_{1}P$ 與 $d_{2}=F_{2}P$ 的比例的自然對數

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$。

注意到焦線 $F_{1}$ 與 $F_{2}$ 的坐標分別為 $x=-a$ 與 $x=a$ 。

坐標曲面

雙極坐標的幾何詮釋。 ${\overline {F_{1}P}}$ 與 ${\overline {F_{2}P}}$ 的夾角 $\angle F_{1}PF_{2}$ 的弧度是 $\sigma$ 。$F_{1}P$ 與 $F_{2}P$ 的比例的自然對數是 $\tau$ 。$\sigma$ 與 $\tau$ 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。

不同 $\sigma$ 的坐標曲面是一組不同圓心線，而相交於兩個焦線 $L_{1}$ 與 $L_{2}$ 的圓柱面：

$x^{2}+(y-a\cot \sigma )^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$ 。

它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值 $\sigma$ 的圓柱面的圓心線都在 $y>0$ 半空間；而負值 $\sigma$ 的圓柱面的圓心線則在 $y<0$ 半空間。當絕對值 $\left|\sigma \right|$ 增加時，圓半徑會減小，圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時，$\left|\sigma \right|$ 達到最大值 $\pi /2$ 。

不同 $\tau$ 的坐標曲面是一組圍著焦線，互不相交，不同半徑的圓柱面。半徑為

$y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}$ 。

它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值 $\tau$ 的圓柱面在 $x>0$ 半空間；而負值 $\tau$ 的圓柱面在 $x<0$ 半空間。 $\tau =0$ 平面則與 yz-平面同平面。當 $\tau$ 值增加時，圓柱面的半徑會減少，圓心線會靠近焦點。

逆變換

雙極圓柱坐標 $(\sigma ,\ \tau ,\ z)$ 可以用直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 來表示。點 P 與兩個焦線之間的距離是

$d_{1}^{2}=(x+a)^{2}+y^{2}$ 、

$d_{2}^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}$ 。

$\tau$ 是 $d_{1}$ 與 $d_{2}$ 的比例的自然對數：

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$ 。

$\angle F_{1}PF_{2}$ 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 ${\overline {F_{1}P}}$ 與 ${\overline {F_{2}P}}$ 的夾角。這夾角的弧度是 $\sigma$ 。用餘弦定理來計算：

$\cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}$ 。

z-坐標的公式不變：

$z=z$ 。

標度因子

雙極圓柱坐標 $\sigma$ 與 $\tau$ 的標度因子相等；而 $z$ 的標度因子是 1 ：

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}$ 、

$h_{z}=1$ 。

所以，無窮小體積元素等於

$dV={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}d\sigma d\tau dz$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$ 。

其它微分算子，例如 $\nabla \cdot \mathbf {F}$ 與 $\nabla \times \mathbf {F}$ ，都可以用雙極圓柱坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

應用

雙極圓柱坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個互相平行的圓柱導體，請問其周圍的電場為什麼？應用雙極圓柱坐標，我們可以精緻地分析這例題。

參考文獻

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 187–190.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. ASIN B0000CKZX7.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: unknown. ISBN 978-0387184302.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)