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GPY篩法

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GPY篩法(Goldston-Pintz-Yıldırım sieve)是一種篩法,這種篩法是塞爾伯格篩法的一種帶有一般、多維篩選權重的變體。這種篩法已為解析數論的研究帶來多項突破。

這種篩法以Goldston英語Daniel GoldstonPintz英語János_PintzYildirim英語Cem Yıldırım這三位數學家為名。[1]他們在2005年時以此篩法證明說根據質數定理,可推出存在有無限多的質數組,其間隔任意地小於質數的平均間隔。

張益唐後來修改此篩法,以證明說兩個相隔質數間出現無限多次的最小間隔的有限界限為何。[2]之後詹姆斯·梅納德(他把上述的界限降到[3])及陶哲軒都曾修改此篩法。

GPY篩法

表記

首先固定,之後定義以下表記:

  • 是質數集合,且是這集合的特徵方程。
  • 馮·曼戈爾特函數
  • 是用以計算的不同質因數個數的小寫俄梅戛函數英語prime omega function
  • 是一組相異的非負整數的集合。
  • 是另一個關於質數的特徵函數,其定義如下:
其中

對於有以下定義:

  • 的相異同餘類個數。像例如因為之故,因此有以及

假若對所有的而言,都有的話,則稱為「可及的」(admissible)。

構造

為「可及的」,並考慮以下篩函數(sifting function):

那麼對任意的而言,這函數即是計算扣掉某個門檻之後,形如的質數的個數的函數,故在的情況下,有某數使得至少中的質數。

由於的解析性質沒那麼好之故,因此可改用下列的篩函數:

由於之故,我們僅在存在這兩個質數的狀況下,有。我們接下來要做的,就是尋找權重函數以便能測得質數k元組英語prime k-tuple

權重的派生

一個權重函數的可能候選,是一般化的馮·曼戈爾特函數

這函數有如次的性質:若,則。雖說這函數也會測得形式為質數冪的因子,但在應用中,這些因子可在僅造成可忽略誤差的狀況下移除。[1]:826

因此在是質數k元組的狀況下,以下方程不會消失:

其中這因子僅僅是因方便計算而選取。

(古典)馮·曼戈爾特函數可以截形馮·曼戈爾特函數來估計:

其中不再表示的長度,但用以決定截取點。類似地我們可以下式估計

因為技術理由,我們會希望估計在多個部分中帶有質數的數組,而非再引入另一個參數的狀況下僅僅估計質數組,因此我們可選取或較不相異的質因數。而這引出了下列的最終形式:

在不引入這額外參數的狀況下,對不同的這樣的限制;但藉由引入此參數,我們可得到更寬鬆的限制[1]:827

故對於維的篩法問題,我們有維的篩法。[4]

GPY篩法

GPY篩法有下列形式:

其中

.[1]:827-829

Goldston、Pintz及Yıldırım三氏對主定理的證明

在考慮以及並定義的情況下,Goldston、Pintz及Yıldırım三氏在他們的論文中,以兩個定理證明了在合適的條件下,以下兩個非病態的形式成立。這兩個形式分別為

以及

其中是兩個常數,是兩個奇異級數(singular series),其描述在此省略。

最後我們可將此結果套用在之上,以得到Goldston、Pintz及Yıldırım三氏「存在有無限多的質數組,其間隔任意地小於質數的平均間隔」的結果。[1]:827-829

註解

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y. Primes in Tuples I. Annals of Mathematics. 2009, 170 (2): 819–862. doi:10.4007/annals.2009.170.819可免費查閱. 
  2. ^ Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics. 2014, 179: 1121–1174. doi:10.4007/annals.2014.179.3.7可免費查閱. 
  3. ^ Maynard, James. Small gaps between primes. Annals of Mathematics. 2015, 181 (1): 383–413. arXiv:1311.4600可免費查閱. doi:10.4007/annals.2015.181.1.7. 
  4. ^ Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y.; Graham, Sidney W. Small gaps between primes or almost primes. Transactions of the American Mathematical Society. 2009, 361 (10): 7. arXiv:math/0506067可免費查閱.