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外測度

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數學中,特別是測度論中,外測度是一個定義在給定集合上的擴展實數值函數,並滿足幾條附加條件。一般的外測度理論由C. Carathéodory引進,目的是給可測集可數可加測度的理論建立基礎。C. Carathéodory關於外測度上所做的工作應用於測度理論中的集合論上(例如外測度用於證明Carathéodory擴張定理)。豪斯多夫也用此來定義一個類似維數的度量,現在稱為豪斯多夫維數

從長度,面積及體積歸納出來的測度概念,對於很多抽象不規則的集合是很有用的。我們希望定義一個廣義的測度函數,使其滿足以下4個條件:

  1. 任意實數區間 有測度
  2. 測度函數 是非負擴展實數值函數,定義在的所有子集合上;
  3. 平移不變性:任給集合和實數 有相同的測度(這裏,);
  4. 可數可加律:對的任意的兩兩無交的子集序列,有:

事實上,這幾條要求是不相容的。這樣的測度函數 不能定義在的所有子集上,也就是說,不可測集是存在的。構造外測度的目的就是選出那些可測集合,使得可數可加性得到滿足。

定義

外測度是從 冪集合映到 的函數

且滿足以下條件:

  • 次可加性: 對 X 的任意子集序列 (不管兩兩交集是否空集合)

接着可以藉由外測度來定義 X 中的可測集合:子集合 -可測的,若且唯若對 的任意子集合 有:

所有的 -可測集合構成了一個-代數 ,且如果 限制在我們剛定義的可測集合上時, 會有可數可加的完備測度性質。這個方法是Carathéodory構造出來的,是構造勒貝格測度積分理論的重要方法。

外測度與拓撲學

假設 是一個度量空間是一個在 之上的外測度。若 有以下性質 :

只要

就有

那麼稱是一個度量外測度

如果上的度量外測度,那麼的每個Borel子集都是-可測的。

外測度的構造

有幾種方法來構造一個集合上的外測度。下面兩種是特別有用的。

為一集合,的包含空集子集族上的非負擴展實數值函數,且 在空集處取零。

那麼定義

是一個外測度。

另一種方法在度量空間上更有效,因為它直接得到了度量外測度。設 是一個度量空間,的包含空集的子集族,上的非負擴展實數值函數,且在空集處取零。那麼,對任意,令

成立,因為減小時,下確界是在更小的集合上取得的。所以

存在(可能是無窮大)。

這樣構造的是一個度量外測度。這個構造也就是定義豪斯多夫維數時用的外測度。

參考

  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
  • M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953