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局部體

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數學上局部體是一類特別的,它有非平凡的絕對值,此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部體可粗分為兩類:一種的絕對值滿足阿基米德性質(稱作阿基米德局部體),另一種的絕對值不滿足阿基米德性質(稱作非阿基米德局部體)。在數論中,數體完備化給出局部體的典型例子。

非阿基米德局部體

為非阿基米德局部體,而為其絕對值。關鍵在下述對象:

  • 閉單位球:,或其整數環,這是個緊集
  • 整數環裏的單位元
  • 開單位球:,這同時是其整數環裏唯一的極大理想,也記作

上述對象與賦值環的構造相呼應;事實上,可證明必存在實數離散賦值,使得

.

可取唯一的使得為滿射,稱之為正規化賦值

從此引出非阿基米德局部體的另一個等價定義:一個體,帶離散賦值,使得成為完備的拓撲體,而且剩餘體有限。

這類局部體的行為可由局部類體論描述。

分類

局部體的完整分類如次:

  • 。這些是阿基米德局部體。
  • p進數的有限擴張。這些是特徵為零的非阿基米德局部體。
  • 的有限擴張(其中表有q個元素的有限體)。這些是特徵非零的非阿基米德局部體。

文獻