廣義座標是不特定的座標。假若,我們用一組廣義座標來導引方程式,所得到的答案,可以應用於較廣泛的問題;並且,當我們最後終於設定這座標時,答案仍舊是正確的[1]。拉格朗日力學,哈密頓力學都需要用到廣義座標來表示基要概念與方程式。
獨立的廣義座標
當分析有的問題時(尤其是當有許多約束條件的時候),最好盡量選擇獨立的廣義座標。因為,這樣可以減少代表約束的變量。但是,當遇到非完整約束時,或者當計算約束力時,就必須使用關於這約束力的,相依的廣義座標。
在三維空間裏,假設一個物理系統擁有
顆粒子;那麼,這系統的自由度是
。再假設這系統有
個完整約束;那麼,這系統的自由度變為
。必須用
個獨立廣義座標
與時間
來完全描述這系統的運動。座標的轉換方程式可以表示如下:
。
雖然我們可能會遇到複雜的系統時,這轉換方程式具有足夠的靈活性來選擇最合適的座標。在思考虛位移與廣義力時,這轉換方程式也可以用來建造微分。
實例
雙擺
一個複擺,被約束地移動於一垂直平面,可以用四個直角座標
來描述。但是,這系統的自由度是2;我們可以用兩個廣義座標來更精簡地描述這雙擺運動:
;
這裏,
,
。
一粒珠子,被約束地移動在一條穿過它的鐵絲上,自由度是1。它的運動可以用一個廣義座標來描述
;
這裏,
是珠子離鐵絲上一個參考點的徑長。這三維空間運動已被減縮為一維空間運動了。
一個物體,被約束在一個表面上,自由度是2;雖然它的運動也是嵌在三維空間裏。如果這表面是球表面,一個很好的選擇是
;
這裏,
與
是球坐標系的角座標。因為
座標是常數,可以被忽略掉。
參閱
參考文獻
- ^ Torby, Bruce. Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. 1984: pp. 259. ISBN 0-03-063366-4 (英語).