潘洛斯圖

理論物理學中，潘洛斯圖（英文：Penrose diagram，用英國牛津大學物理學家羅傑·潘洛斯爵士的名字命名）是用於描述時空中不同兩點所發生事件的因果律的二維示意圖。潘洛斯圖是閔考斯基圖（垂直軸表示時間，水平軸表示空間，45度斜線表示光的世界線）的廣義相對論推廣，而最大區別是潘洛斯圖上的度規和時空中的真實度規能夠局部地共形等價，即能夠通過共形變換使全部的時空流形轉換到潘洛斯圖的有限區域中去。對於球對稱的時空，潘洛斯圖上的每一點代表一個二維球。

潘洛斯圖的更恰當名稱應該是潘洛斯-卡特圖（或卡特-潘洛斯圖），這是歸功於布蘭登·卡特（Brandon Carter）和羅傑·潘洛斯兩人的貢獻，但這種叫法並不那麼常見。潘洛斯圖也叫做共形圖或直接被稱為時空圖。

基本性質

對於局部的漸近平直時空（所謂漸近平直，是指當坐標趨於無限遠時時空曲率趨於零，即閔考斯基時空），雖然潘洛斯圖和其他的時空圖一樣具有相同的基本坐標基矢，它還引入了能夠將較遠的距離「收縮」或「擠壓」的方法，從而可以表示位於遠處的時空。這時的原本為直線的時空常數坐標變換為雙曲線，這些雙曲線在潘洛斯圖的頂角處會聚為一點，這些點表示的是時空中的「共形無限遠處」。

潘洛斯圖中的45度斜線表示光線的軌跡，並且只有當兩束光在真實時空中相交時，其分別對應的兩條45度斜線才會在潘洛斯圖上相交，因此潘洛斯圖是用來說明可觀測時空區域的一個很簡明的工具。潘洛斯圖的邊界是對角線方向的，它們表示的是無限遠處或光線必須在那裏終止的奇異點，因此潘洛斯圖在研究時空和奇異點的漸近性質時也很有用。對於無限的靜態閔考斯基宇宙，時空中任意坐標（x, t）和潘洛斯圖上坐標（x', t'）之間的關係為

\tan(x'\pm t')=x\pm t

從這個公式來看，位於頂點處的類時或類空的共形無限遠處的坐標滿足 $x'\pm t'=\pi /2\,$ 。

黑洞

潘洛斯圖經常被用來描述假想的連接兩個彼此獨立宇宙的蟲洞的時空，這兩個獨立且互為鏡像的宇宙在潘洛斯圖的前身，即Kruskal圖中有描述，其對應的是史瓦西度規下的時空。這種方法將黑洞的視界調整到過去與未來時空圖的45度斜線上（這是由於從事件視界內部回到視界半徑以外需要達到超光速），將奇異點分割為兩條分別表示過去與未來的水平雙曲線（這是由於奇異點會「切斷」所有通向未來的世界線，任何落到視界內的物體必然會最終撞上奇異點）。從Kruskal-Szekeres圖的觀點來看，史瓦西幾何描述了四塊時空區域：包括兩個可以通過蟲洞相連接的漸近平直時空（但蟲洞不是總是打開的——其打開的時間其實非常短暫），一個史瓦西黑洞和其時間反演即白洞。

使用潘洛斯圖描述的史瓦西黑洞可以從Kruskal-Szekeres坐標中得到，在潘洛斯圖中黑洞的視界也是兩條45度斜線，而奇異點則是兩條分別表示過去與未來的水平直線，從類時的無限遠處出發經過中間一段漸近平直時空後在另一個類時的無限遠處結束（雖然圖中類時的無限遠處也位於表示奇異點的直線上，它們並不屬於奇異點）。在現代物理對黑洞的研究中，潘洛斯圖是分析具有電荷及角動量的黑洞（萊斯納-諾斯特朗姆黑洞、克爾黑洞、克爾-紐曼黑洞）的重要工具。

參見

參考文獻

Sean Carroll. Lecture Notes on General Relativity (PDF). ArXiv. [2008-07-17]. （原始内容存档 (PDF)于2020-07-25）（英语）. 加州理工學院的年輕教授http://preposterousuniverse.com/ （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）所編寫的廣義相對論課堂講義，這是它的pdf版本，有關潘洛斯圖和黑洞的內容見第七章
d'Inverno, Ray. Introducing Einstein's Relativity. Oxford: Oxford University Press. 1992. ISBN 0-19-859686-3. 第十七章（及其後章節）講述共形無限遠的概念以及例子，很好的入門介紹
Frauendiener, Jörg. Conformal Infinity. Living Reviews in Relativity. [February 2, 2004]. （原始内容存档于2004年2月23日）.
Carter, Brandon. Complete Analytic Extension of the Symmetry Axis of Kerr's Solution of Einstein's Equations. Phys. Rev. 1966, 141: 1242–1247. doi:10.1103/PhysRev.141.1242. 以及 http://prola.aps.org/abstract/PR/v141/i4/p1242_1 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（需要訂閱數據庫）
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Kaufmann, William J. III. The Cosmic Frontiers of General Relativity. Little Brown & Co. 1977. ISBN 0-316-48341-9. 重點放在有關蟲洞的一些事實和幻想，作者Kaufmann的另外一本科普著作是 Black Holes and Warped Spacetime. W H Freeman & Co (Sd). 1979. ISBN 0-7167-1153-2.