總變差
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在數學中,總變差(英語:Total variation)就是一函數其數值變化的差的總和。
定義
向量空間
實值函數定義在區間的總變差是一維參數曲線的弧長。 連續可微函數的總變差,可由如下的積分給出
任意實值或虛值函數定義在區間上的總變差,由
定義。其中為區間中的所有分劃.
其中 是Ω中的緊支集上全體連續可微向量函數構成的集合, 是本質上確界範數。
若可微,上式可簡化為
度量空間
在一個度量空間上,集函數,其總變差為:
可微定義的證明
首先需要利用高斯散度定理證明一個等式.
引理
在假設條件下,下面的等式成立:
引理證明
由高斯散度定理. 將代入,可得
由於在的邊界上,從而
注意到代入上式,移項即得
- .
參閱
外部連結
理論
單變量
- Boris I. Golubov (and comments of Anatolii Georgievich Vitushkin) "Variation of a function (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
- "Total variation" on Planetmath.
多變量
- Comments of Anatolii Georgievich Vitushkin on the preceding article of Boris I. Golubov "Variation of a function (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
- Boris I. Golubov "Arzelà variation (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)", "Fréchet variation (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)", "Hardy variation (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)", "Pierpont variation (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)", "Tonelli plane variation (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)", "Vitali variation (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)", voices from the Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
測度論
- Rowland, Todd. "Total Variation (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)". From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein.
- "Jordan decomposition (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)" on Planetmath.
概率論
- M. Denuit and S. Van Bellegem "On the stop-loss and total variation distances between random sums", discussion paper 0034 of the Statistic Institute of the "Université Catholique de Louvain".
應用
- Caselles, Vicent; Chambolle; Novaga, The discontinuity set of solutions of the TV denoising problem and some extensions, SIAM, Multiscale Modeling and Simulation, vol. 6 n. 3, 2007 外部連結存在於
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(幫助) (a work dealing with total variation application in denoising problems for image processing).
- Tony F. Chan and Jackie (Jianhong) Shen (2005), Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods, SIAM, ISBN 089871589X (with in-depth coverage and extensive applications of Total Variations in modern image processing, as started by Rudin, Osher, and Fatemi).