一個有6個節點和7條邊的圖
最短路徑問題是圖論研究中的一個經典演算法問題,旨在尋找圖(由結點和路徑組成的)中兩結點之間的最短路徑。演算法具體的形式包括:
- 確定起點的最短路徑問題 - 也叫單源最短路問題,即已知起始結點,求最短路徑的問題。在邊權非負時適合使用Dijkstra演算法,若邊權為負時則適合使用Bellman-ford演算法或者SPFA演算法。
- 確定終點的最短路徑問題 - 與確定起點的問題相反,該問題是已知終結結點,求最短路徑的問題。在無向圖中該問題與確定起點的問題完全等同,在有向圖中該問題等同於把所有路徑方向反轉的確定起點的問題。
- 確定起點終點的最短路徑問題 - 即已知起點和終點,求兩結點之間的最短路徑。
- 全域最短路徑問題 - 也叫多源最短路問題,求圖中所有的最短路徑。適合使用Floyd-Warshall演算法。
用於解決最短路徑問題的演算法被稱做「最短路徑演算法」,有時被簡稱作「路徑演算法」。最常用的路徑演算法有:
單源最短路徑演算法
無向圖
權值要求
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時間複雜度
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作者
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ℝ+
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Dijkstra 1959
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ℝ+
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Johnson 1977 (二叉堆積)
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ℝ+
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Fredman & Tarjan 1984 (斐波那契堆)
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ℕ
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Thorup 1999 (要求常數時間複雜度的乘法)。
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無權圖
演算法
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時間複雜度
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作者
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廣度優先搜尋
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Konrad Zuse 1945,Moore 1959
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有向無環圖
使用拓撲排序演算法可以在有權值的DAG中以線性時間(
)求解單源最短路徑問題。
無負權的有向圖
假設邊緣權重均為整數。
演算法
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時間複雜度
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作者
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O(V 2EL)
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Ford 1956
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Bellman–Ford 演算法
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O(VE)
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Shimbel 1955, Bellman 1958, Moore 1959
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O(V 2 log V)
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Dantzig 1960
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Dijkstra's 演算法(列表)
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O(V 2)
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Leyzorek et al. 1957, Dijkstra 1959, Minty (see Pollack & Wiebenson 1960), Whiting & Hillier 1960
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Dijkstra's 演算法(二叉堆積)
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O((E + V) log V)
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Johnson 1977
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……
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……
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……
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Dijkstra's 演算法(斐波那契堆)
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O(E + V log V)
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Fredman & Tarjan 1984, Fredman & Tarjan 1987
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O(E log log L)
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Johnson 1981, Karlsson & Poblete 1983
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Gabow's 演算法
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O(E logE/V L)
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Gabow 1983, Gabow 1985
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Ahuja et al. 1990
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Thorup
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O(E + V log log V)
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Thorup 2004
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參見