有理曲面
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在代數幾何裏,有理曲面(rational surface)是指一個雙有理等價於投影平面的曲面;換句話說,即為一個二維有理簇。有理曲面是複曲面的十餘種恩里克斯-小平分類中最簡單的一類,且是第一個被研究的曲面。
結構
每個非奇異曲面均可透過重復拉開最小有理曲面而取得。最小有理曲面可為投影平面,或希策布魯赫平面 Σr,其中 r = 0 或 r ≥ 2。
霍奇鑽石:
1 | ||||
0 | 0 | |||
0 | 1+n | 0 | ||
0 | 0 | |||
1 |
其中,n 等於 0 時為投影平面,等於 1 時為希策布魯赫曲面,大於 1 時則為其他有理曲面。
除了希策布魯赫曲面 Σ2m 為偶么模格 II1,1 之外,皮卡群均為奇么模格 I1,n。
卡斯特爾諾沃定理
吉多·卡斯特爾諾沃證明,任一複曲面,若使得 q 及 P2(不規則點及第二正則虧格)均消失,則該曲面為有理曲面。該定理被用於恩里克斯-小平分類中,以識別有理曲面。扎里斯基於1958年證明,卡斯特爾諾沃定理在特徵為正的體上亦成立[1]。
卡斯特爾諾沃定理也意指任一單有理複曲面都是有理曲面,因為若一複曲面為單有理曲面,則其不規則點與正則虧格會小於有理曲面的不規則點與正則虧格,因此均為 0,所以該曲面為有理曲面。大多數三維以上的單有理複簇都不是有理曲面。在特徵 p > 0 時,扎里斯基於1958年發現,不是有理曲面,但為單有理曲面(扎里斯基曲面)之例子[1]。
曾有一段時間不知道 q 及 P1 均消失的複曲面是否均為有理曲面,直到費德瑞格·恩里克斯找到一個反例(稱為恩里克斯曲面)為止。
有理曲面的例子
- 博爾迪加曲面:投影平面於 P4 之6次嵌入。
- 沙德烈曲面
- 科布爾曲面
- 立方曲面:非奇異立方曲面同構於6個點拉開的投影平面,且為法諾曲面。有名的例子包括費馬立方、凱萊立方曲面及克萊布希對角曲面。
- 法諾曲面
- Enneper曲面
- 希策布魯赫曲面 Σn
- 兩個投影線的積 P1×P1 為希策布魯赫曲面 Σ0。該曲面是唯一具有兩種不同直紋之曲面。
- 投影平面
- 塞格雷曲面:兩個二次曲面的相交,同構於5個點拉開的投影平面。
- 羅馬曲面:在 P4 內,具奇異點,且雙有理等價於投影平面之曲面。
- White surfaces, a generalization of Bordiga surfaces.
- 白曲面,博爾迪加曲面的廣義化。
- 維羅納曲面:投影平面於 P5 之嵌入。
另見
參考資料
- ^ 1.0 1.1 Zariski, Oscar, On Castelnuovo's criterion of rationality pa = P2 = 0 of an algebraic surface, Illinois Journal of Mathematics, 1958, 2: 303–315, ISSN 0019-2082, MR 0099990
- Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius, Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 4, Springer-Verlag, Berlin, 2004, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
- Beauville, Arnaud, Complex algebraic surfaces, London Mathematical Society Student Texts 34 2nd, Cambridge University Press, 1996, ISBN 978-0-521-49510-3, MR 1406314