在測度論中,法圖引理說明了一個函數列的下極限的積分(在勒貝格意義上)和其積分的下極限的不等關係。法圖引理的名稱來源於法國數學家皮埃爾·法圖(Pierre Fatou),被用來證明測度論中的法圖-勒貝格定理和勒貝格控制收斂定理。
敘述
設
為一個測度空間,
是一個實值的可測正值函數列。那麼:
![{\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d06b811c0e12f7c8f9e43709d68a40025b12d4e)
其中的函數極限是在逐點收斂的意義上的極限,函數的取值和積分可以是無窮大。
證明
定理的證明基於單調收斂定理(非常容易證明)。設
為函數列
的下極限。對每個正整數
,逐點定義下極限函數:
![{\displaystyle g_{k}=\inf _{n\geq k}f_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/763f11d653adb23c7c69f432292ff633bd76af1a)
於是函數列
單調遞增並趨於
。
任意
,我們有
,因此
![{\displaystyle \int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \int _{S}f_{n}\,d\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071f4800f09b296c37f7d1a5f00c6f846f2a2359)
於是
![{\displaystyle \int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9149fcc6336058b63ea45adac0aa9bbf74586d)
據此,由單調收斂定理以及下極限的定義,就有:
![{\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba109fa5ffbb62ea3c357118f3235d77281a09f6)
反向法圖引理
令
為測度空間
中的一列可測函數,函數的值域為擴展實數(包括無窮大)。如果存在一個在
上可積的正值函數
,使得對所有的
都有
,那麼
![{\displaystyle \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \geq \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66e3e6b186471dc96a96b3ecb8e9a0788d9dfc8)
這裏
只需弱可積,即
。
證明:對函數列
應用法圖引理即可。
推廣
推廣到任意實值函數
法圖引理不僅對取正值的函數列成立,在一定限制條件下,可以擴展到任意的實值函數。令
為測度空間
中的一列可測函數,函數的值域為擴展實數(包括無窮大)。如果存在一個在
上可積的正值函數
,使得對所有的
都有
,那麼
證明:對函數列
應用法圖引理即可。
逐點收斂
在以上的條件下,如果函數列在
上μ-幾乎處處逐點收斂到一個函數
,那麼
![{\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e362c44a24a65c12d0564610460b1059c40c9cce)
證明:
是函數列的極限,因此自然是下極限。此外,零測集上的差異對於積分值沒有影響。
依測度收斂
如果函數列在
上依測度收斂到
,那麼上面的命題仍然成立。
證明:存在
的一個子列使得
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841ca072592ef9860db5a75373e4f3c9fd5d68a4)
這個子列仍然依測度收斂到
,於是又存在這個子列的一個子列在
上μ-幾乎處處逐點收斂到
,於是命題成立。
外部連結
參考來源
- H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.