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法諾不等式

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法諾不等式(Fano's inequality)也稱為法諾引理(Fano lemma)是信息論中的一個定理,說明噪音信道中的平均信息損失和錯誤分類概率之間的關係。法諾不等式是羅伯特·法諾是1950年代於麻省理工學院教授博士討論班的時候推導的,後來放在1961年編寫的教科書中。

法諾不等式在信息論中,提供了解碼器錯誤概率的下界。在統計學中,提供了密度估計英語Density_estimation極小化極大風險英語minimax risks的下界。

用符號 表示熵, 表示隨機變量XY之間的條件熵,表示對於X的分類,e表示分類錯誤的事件(),法諾不等式是說

這裏 X可能取值(有限個)的集合。

參考資料

  • P. Assouad, "Deux remarques sur l'estimation", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, Vol. 296, pp. 1021–1024, 1983.
  • L. Birge, "Estimating a density under order restrictions: nonasymptotic minimax risk", Technical report, UER de Sciences Économiques, Universite Paris X, Nanterre, France, 1983.
  • T. Cover, J. Thomas. Elements of Information Theory (PDF). 1991: 38–42 [2019-03-30]. ISBN 978-0-471-06259-2. (原始內容存檔 (PDF)於2020-11-12). 
  • L. Devroye, A Course in Density Estimation. Progress in probability and statistics, Vol 14. Boston, Birkhauser, 1987. ISBN 0-8176-3365-0, ISBN 3-7643-3365-0.
  • Fano, Robert. Transmission of information: a statistical theory of communications. Cambridge, Mass: MIT Press. 1968. ISBN 978-0-262-56169-3. OCLC 804123877. 
  • R. Fano, Fano inequality頁面存檔備份,存於互聯網檔案館 Scholarpedia, 2008.
  • I. A. Ibragimov, R. Z. Has′minskii, Statistical estimation, asymptotic theory. Applications of Mathematics, vol. 16, Springer-Verlag, New York, 1981. ISBN 0-387-90523-5