稀有多面體
| 部分的稀有多面體 | |
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![D-星形二十面體[1][2]](/wiki/File:Stellation_icosahedron_d.png) D-星形二十面體[1][2] |
 正十二面體 |
 冠狀多面體 |
 小星形十二面體 |
稀有多面體又稱高貴多面體，是指所有面全等且所有頂角等角的多面體，即既是等面圖形也是等角圖形的多面體。由於多面體在三維空間的複雜性，要能同時滿足等面和等角並不容易，因此這些多面體被稱為稀有的或高貴的多面體。[3]除了正多面體外還有不少幾何體同時具備等面與等角的特性[2]。早在在19世紀後期，赫斯和布魯克納已經對稀有多面體進行了深度的研究，後來則由格林鮑姆接續研究。[4]
種類
稀有多面體可以包含下列幾種類型的多面體：
若稀有多面體的定義中，允許格林鮑姆提出的一些特殊結構，則稀有多面體能再包含下列兩種無限集合的多面體：[4]
- 花環多面體（Wreath polyhedra）：具有共享一條邊的共面三角形組成的多面體
- V-面多面體（V-faced polyhedra）：具有重合頂點組和退化面的多面體
對偶多面體
根據稀有多面體多面體的定義，稀有多面體的對偶多面體仍然為稀有多面體[3]。部分的稀有多面體是自身對偶的多面體，例如正四面體。[7]
- 九種正多面體（柏拉圖立體與開普勒－龐索立體）[2]除了正四面體外其餘兩兩互為對偶多面體。
- 鍥形體在拓樸學上是自身對偶多面體，而在幾何學上鍥形體和其對偶多面體可以看作是被拉長的四面體以及相對被壓縮的四面體。[2]
- 冠狀多面體在拓樸上是自身對偶多面體。[6]
- 花環多面體和V-面多面體互為對偶多面體。[4]
稀有多胞形
稀有多胞形是指所有維面全等且所有頂角等角的多胞形[3]（既是等維面圖形也是等角圖形的幾何結構）。在三維空間中，稀有多胞形除了包括了上述的稀有多面體外，平面鑲嵌和雙曲鑲嵌也都屬於稀有多胞形[3]。在高維空間中，所有正多胞形都是稀有多胞形，而部分的均勻多胞形也是稀有多胞形。[3]
參見
參考文獻
- ^ Klitzing, Richard. noble {9,3} modwrap within srid. bendwavy.org. [2021-10-15].
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 George W. Hart. Polyhedra with Equal Faces and Equal Vertex Figures. Virtual Polyhedra, georgehart.com. 1996 [2021-10-15]. （原始內容存檔於2020-02-24）.
- ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 Klitzing, Richard. Noble Polytopes. bendwavy.org. [2021-10-12]. （原始內容存檔於2021-08-09）.
- ^ 4.0 4.1 4.2 Grünbaum, B. Are your polyhedra the same as my polyhedra? (PDF). Discrete and Computational Geometry: The Goodman-Pollack Festschrift (New York: Springer). 2003: 461–488 [2021-10-15]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-08-03）.
- ^ Mikloweit, Ulrich; et al. Exploring Noble Polyhedra With the Program Stella4D. Bridges 2020 Conference Proceedings (Tessellations Publishing). 2020: 257–264.
- ^ 6.0 6.1 Grünbaum, Branko, Polyhedra with Hollow Faces, Polytopes: Abstract, Convex and Computational, NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Series 440, Kluwer Academic Publishers: 43–70, 1994 [2021-10-15], doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3, （原始內容存檔於2020-07-09）. 尤其見p. 60 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
- ^ Richard Klitzing. regular tetrahedron: tet. 3D convex uniform polyhedra. bendwavy. [2021-10-15]. （原始內容存檔於2021-10-03）.