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素數倒數幻方

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素數倒數幻方(prime reciprocal magic square)是指用素數倒數及其倍數的循環小數各位數組成的幻方。有些素數的倒數則可以形成對角線和也滿足條件的幻方。

考慮在十進制下的1/7,其小數為循環小數1/7 = 0·142857142857142857...,若再考慮其倍數,會看到這六個數字的循環排列英語cyclic permutation

1/7 = 0·1 4 2 8 5 7...
2/7 = 0·2 8 5 7 1 4...
3/7 = 0·4 2 8 5 7 1...
4/7 = 0·5 7 1 4 2 8...
5/7 = 0·7 1 4 2 8 5...
6/7 = 0·8 5 7 1 4 2...

若用上述數字形成方陣,每一列的和是1+4+2+8+5+7,即為27,每一行的和也是27,若不考慮對角線,因此可以形成一個幻方:

1 4 2 8 5 7
2 8 5 7 1 4
4 2 8 5 7 1
5 7 1 4 2 8
7 1 4 2 8 5
8 5 7 1 4 2

不過其對角線不是27。

考慮1/19的倍數,下一行是上一行的二倍,而小數位數似乎右移一位:

01/19 = 0.052631578,947368421
02/19 = 0.1052631578,94736842
04/19 = 0.21052631578,9473684
08/19 = 0.421052631578,947368
16/19 = 0.8421052631578,94736

分子乘以2會讓小數的位數右移一位:

在1/19形成的方陣中,其最大週期為18,每一行及每一列的和是81,而且對角線也是81,完全符合幻方的條件:

01/19 = 0·0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1...
02/19 = 0·1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2...
03/19 = 0·1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3...
04/19 = 0·2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4...
05/19 = 0·2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5...
06/19 = 0·3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6...
07/19 = 0·3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7...
08/19 = 0·4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8...
09/19 = 0·4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9...
10/19 = 0·5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0...
11/19 = 0·5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1...
12/19 = 0·6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2...
13/19 = 0·6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3...
14/19 = 0·7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4...
15/19 = 0·7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5...
16/19 = 0·8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6...
17/19 = 0·8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7...
18/19 = 0·9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8...

在各素數在不同進制下,也可能會有相同的現象,以下是列表,列出素數、進制以及幻方和 ((進制-1) 乘 (素數-1) / 2:

素數 進制 幻方和
19 10 81
53 12 286
53 34 858
59 2 29
67 2 33
83 2 41
89 19 792
167 68 5,561
199 41 3,960
199 150 14,751
211 2 105
223 3 222
293 147 21,316
307 5 612
383 10 1,719
389 360 69,646
397 5 792
421 338 70,770
487 6 1,215
503 420 105,169
587 368 107,531
593 3 592
631 87 27,090
677 407 137,228
757 759 286,524
787 13 4,716
811 3 810
977 1,222 595,848
1,033 11 5,160
1,187 135 79,462
1,307 5 2,612
1,499 11 7,490
1,877 19 16,884
1,933 146 140,070
2,011 26 25,125
2,027 2 1,013
2,141 63 66,340
2,539 2 1,269
3,187 97 152,928
3,373 11 16,860
3,659 126 228,625
3,947 35 67,082
4,261 2 2,130
4,813 2 2,406
5,647 75 208,902
6,113 3 6,112
6,277 2 3,138
7,283 2 3,641
8,387 2 4,193

相關條目

參考資料

Rademacher, H. and Toeplitz, O. The Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 158–160, 1957.

Weisstein, Eric W. "Midy's Theorem." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/MidysTheorem.html頁面存檔備份,存於互聯網檔案館