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緊生成空間

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拓撲學中,緊生成空間(又稱k-空間)是一種拓撲空間、其拓撲為所有緊緻子空間族的凝聚。具體而言,我們稱拓撲空間X 為緊生成空間,當它滿足:

子空間AX 中的閉集當且僅當對所有緊子集KXAKK 中的閉集。

等價地,我們也可以將以上條件中的「閉集」替換成「開集」。實際上,只要X 的拓撲是任意緊覆蓋的凝聚(在以上的意義上),那麼它的拓撲就是所有緊緻子空間的凝聚。

相似地,緊生成郝斯多夫空間 是緊生成的郝斯多夫空間。與許多緊緻性條件類似,「緊生成空間」也經常代指緊生成郝斯多夫空間。

動機

緊生成空間最初被稱為k-空間,由德語kompakt 得名。胡列維茨最先研究了緊生成空間,在Kelley的《一般拓撲學》、Dugundji的《拓撲學》、Félix、Halperin及Thomas的《有理同倫論》等著作中可以找到對緊生成空間的記錄。

對緊生成空間的更深層的研究始於1960年代,其動機是慣常的拓撲範疇有着公認的缺陷。這個缺陷是它並非笛卡兒閉範疇,即粘合映射的笛卡兒積並不總是粘合映射,而CW複形的笛卡兒積並不總是CW複形。相比之下,單純集合的範疇則有許多方便的性質,其中就包括了笛卡兒閉。對如何補救這個缺陷,數學家們作了長時間的研究;這段歷史在ncatlab網站上的文章convenient categories of spaces頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)中有更詳細的記載。

最初的補救嘗試(於1962年)是限制到緊生成郝斯多夫空間這一完全子範疇中,而這個子範疇事實上確是笛卡兒閉的。這些想法延伸到de Vries對偶性定理。在下文我們將給出冪物件的定義。另一個嘗試(於1964年)則是考慮慣常的郝斯多夫空間,但將映射改為在緊緻子集上連續的函數。

這些想法都可以推廣到非郝斯多夫的情況,參考Topology and groupoids頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)一書的第5章第9節。這個推廣的意義在於,郝斯多夫空間的粘合空間並不一定是郝斯多夫空間。更多相關資訊,請參考Booth與Tillotson的論文。

範例

數學中大多數常用的拓撲空間都是緊生成的。

  • 所有緊空間都是緊生成的。
  • 所有局部緊空間是緊生成的。
  • 所有第一可數空間都是緊生成的。
  • 拓撲流形是局部緊的郝斯多夫空間,因此也是緊生成郝斯多夫空間。
  • 度量空間是第一可數空間(甚至是第二可數),因此也是緊生成郝斯多夫空間。
  • 所有CW複形都是緊生成郝斯多夫空間。

性質

我們用CGTop代表Top的物件為緊生成空間的完全子範疇,而用CGHaus代表CGTop的物件為同時滿足郝斯多夫的空間的完全子範疇。

給定任意拓撲空間X,我們可以如下在X 上定義一個新的、可能更精細的拓撲,使X 為緊生成空間。設 {Kα} 為X 的緊緻集合的搜集。我們聲明X 的子集A 在新拓撲中為閉集當且僅當對於任意α,AKαKα 中都是閉集。記新空間為Xc 。我們可以證明Xc 中的緊緻集合與X 中的完全一致,而且這些緊緻集合從兩空間誘導的相對化拓撲也相同。由此可以推出,Xc 是緊生成空間,並且如果X 本身已經是緊生成的,那麼Xc = X ,否則Xc 將嚴格比X 精緻(即擁有更多開集)。

以上的構造是函子性的,即把X 映射到Xc 是從TopCGTop的函子,而且這個函子是CGTopTop包含函子右伴隨

定義在緊生成空間X 上的映射的連續性可以完全由X 的緊緻子集決定。具體而言,函數f :XY 是連續的當且僅當它在每一個緊緻子集KX 上的限制都是連續的。

即使XY 均是緊生成空間,他們的X × Y 也不一定是緊生成的(但若至少其中一個因子是局部緊的,那麼積就是緊生成的)。因此,在緊生成空間的範疇內,我們必須定義XY 的積為(X ×Y )c

範疇CGHaus中的冪物件是由(Y X )c 給出,其中Y X 代表從XY連續函數的空間,賦予緊緻開拓撲

這些概念可以被推廣到非郝斯多夫的情況,參考Topology and groupoids頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)一書的第5章第9節。推廣的意義在於郝斯多夫空間的粘合空間不一定是郝斯多夫空間。

另見

參考資料