網球拍定理

網球拍的三個主軸

網球拍定理或者中間軸定理，又稱賈尼別科夫效應或扎尼別科夫效應（Dzhanibekov Effect）是經典力學中描述自由剛體運動時歐拉方程的解，該剛體可以繞三個不同的主軸旋轉，並且三個轉動慣量互不相等。因為該現象由俄羅斯太空人弗拉基米爾·扎尼別科夫於1985年在太空中發現，因以為名。1991年的一篇論文解釋了該效應，不過此現象在至少150年前就已被發現。

該定理所描述的現象為：剛體繞着第一個和第三個主軸轉動時很穩定，但繞居中的主軸轉動時則不穩定。我們可以用下面的實驗來解釋：握住拍柄使得拍面呈水平，然後將球拍拋至空中，繞着垂直握把的水平軸（圖中 ê₂）旋轉，再試着接住球拍。旋轉過程中，拍面自身很可能也會轉了半圈，以致不容易接住。相對而言，如果是繞着握把軸（圖中 ê₁）或是與拍面垂直的軸（ê₃）旋轉，則可以不造成其他軸旋轉半圈。

事實上，該實驗可以用任意有三個不同轉動慣量的物體來實現，例如書本或者電視遙控器。只要旋轉軸稍微與第二主軸不同，該現象就會發生，不依賴於空氣阻力或者重力。

網球拍繞三個軸旋轉的影片。中間那格從亮邊翻轉到了暗邊。

數學描述

自由轉動時，歐拉方程的形式為

${\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}$

這裏，$I_{1},I_{2},I_{3}$為三個轉動慣量，並假設$I_{1}>I_{2}>I_{3}$。$\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}$為三個相應的角速度，${\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}$為其時間導數。

現在研究繞主軸1旋轉的情況，要確定平衡狀態的性質，可以假設另外兩個初始角速度都非常小，從而$~{\dot {\omega }}_{1}$也非常小，所以$\omega _{1}$與時間的關係可以忽略掉。

然後對方程(2)求導，並把${\dot {\omega }}_{3}$到代入其中，從而有

${\begin{aligned}I_{2}I_{3}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})(I_{1}-I_{2})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\\end{aligned}}$

微重力下的網球拍原理，來自 NASA。

值得一提的是，注意，現在$\omega _{2}$的符號發生了變化，所以繞着這根軸旋轉是穩定的。

對於$I_{3}$也是類似的原因，也是穩定的。

現在將一樣的分析應用到$I_{2}$上，這一次是${\dot {\omega }}_{2}$非常小，${\omega }_{2}$與時間的關係可以忽略。

對方程(1)求導，並把${\dot {\omega }}_{3}$到代入其中，從而有

${\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})(I_{1}-I_{2})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\\end{aligned}}$

注意，$\omega _{1}$的符號保持不變（角速度會增長），所以繞主軸2旋轉不穩定。因此，一個很小的擾動就會使物體發生"翻轉"。