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舒爾補

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線性代數矩陣論中,一個矩陣子矩陣舒爾補是一個與其余子陣同樣大小的矩陣,定義如下:假設一個 (p+q)×(p+q)的矩陣M被分為A, B, C, D四個部分,分別是p×pp×qq×p以及q×q的矩陣,也就是說:

並且D可逆的矩陣。則D在矩陣中的舒爾補是:

這是一個p×p的矩陣。

舒爾補得名於數學家伊賽·舒爾,後者用舒爾補來證明舒爾引理。然而,舒爾補的概念在之前就曾經被使用過[1]

背景

舒爾補實際上是對原來的矩陣M進行一系列的初等變換操作後得到的矩陣,其轉換矩陣是下三角矩陣

其中Ip表示一個p×p的單位矩陣。矩陣M右乘轉換矩陣L之後,左上角就會出現舒爾補,具體的形式是:

因此,矩陣M的逆,如果存在的話,可以用以及其舒爾補(如果存在的話)來表示:

pq都等於1(即ABCD都是係數)時,我們可以得到一般的2 × 2的矩陣的逆矩陣表達式:

這也說明了是非零的數。

在矩陣方程求解中的應用

舒爾補很自然地可以在如下的方程組求解中發揮作用:

其中x以及ap維的列向量,而y以及b則是q維的列向量。矩陣ABCD則同上面假設。將第二個方程左乘上矩陣,並將得到後的方程與第一個相減,就得到:

因此,如果可以知道D以及D的舒爾補的逆矩陣,就可以解出未知量x之後帶入第二個方程就可以解出y。這樣,就將矩陣的求逆問題轉化成了分別求解一個p×p矩陣以及一個 q×q矩陣的逆矩陣的問題。這樣就大大減低了複雜度(計算量)。實際上,這要求矩陣D滿足足夠好的條件,以使得算法得以成立。

概率論和統計學中的應用

假設有分別屬於Rn以及Rm的隨機列向量X, Y ,並且Rn+m中的向量對 (X, Y)具有多維正態分佈,其方差矩陣是對稱的正定矩陣

那麼XY給定時的條件方差是矩陣CV中的舒爾補:

參考來源

  1. ^ Zhang, Fuzhen. The Schur Complement and Its Applications. Springer. 2005. ISBN 0387242716. 

參見