在複分析中,複平面的緊子集K的解析容度(analytic capacity)是一個標誌了
上的有界解析函數可以有「多大」的數。粗略地說,解析容度
測量了
上的有界解析函數所組成的空間的單位球的大小。
這個概念最早由阿爾福斯在1940年代研究有界解析函數的奇點的可去性時引入。
定義
緊集
的解析容度定義為
其中,
表示有界解析函數
組成的集合。此外,
注意如果令
,則有
。但是,一般來說
。
對任意集合
,定義
其中K取遍所有包含於A的緊集。
可去集與潘勒韋問題
設K是緊集,若對任意包含K的開集
,集合
上的有界全純函數都可以解析延拓到整個
上,則稱K是可去集。根據黎曼可去奇點定理,單點集都是可去的。這啟發保羅·潘勒韋於1880年提出了一個更一般的問題:「
的哪些子集是可去的?」
容易看出,K是可去的若且唯若
。然而,解析容度是純複分析的概念,要得到更多的幾何特性描述還有許多工作要做。
阿爾福斯函數
對緊集
,存在唯一的極值函數,即
使得
。這個函數稱為K的阿爾福斯函數。
解析容度與豪斯多夫維數
用
表示豪斯多夫維數,
表示1維豪斯多夫測度。則
蘊含
,而
保證了
。然而,
與
的情況要複雜得多。
長度大於0而解析容度等於0的例子
之前給出了緊集的1維豪斯多夫測度與解析容度的部分對應關係,據此可以猜想
蘊含
。然而,這個猜想是錯的。A. G. Vitushkin首先給出了反例,J. Garnett又給出了簡單得多的例子。後者給出的構造如下:
設
是單位正方形。然後
是4個邊長1/4的正方形的並,這4個小正方形分別位於
的四個角。以此類推,
是
個邊長為
的正方形(記做
)的並,每個
位於某個
的一角。令K是所有
的交,則
,但是
。
Vitushkin猜想
設
是緊集,Vitushkin猜想敘述為
其中
表示在方向
上的正交投影。根據上面的結果,當
時,Vitushkin猜想為真。
Guy David於1998年證明了Vitushkin猜想在
且
的情況。2002年,Xavier Tolsa證明了解析容度是半可數可加的(countably semiadditive)。即,存在常數
使得對緊集
(其中
是博雷爾集),
David與Tolsa的定理合起來能推導出,當K關於
是σ有限的時,Vitushkin猜想為真。可是,對於不是
σ有限的1維的K,這個猜想仍然有待解決。
參考資料
- Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1.
- Pajot, Hervé (2002). Analytic Capacity, Rectifiability, Menger Curvature and the Cauchy Integral. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag.
- J. Garnett, Positive length but zero analytic capacity, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1970), 696–699
- G. David, Unrectifiable 1-sets have vanishing analytic capacity, Rev. Math. Iberoam. 14 (1998) 269–479
- Dudziak, James J. (2010). Vitushkin's Conjecture for Removable Sets. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4.
- Tolsa, Xavier (2014). Analytic Capacity, the Cauchy Transform, and Non-homogeneous Calderón–Zygmund Theory. Progress in Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-319-00595-9.