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群作為數學的重要分支之一,吸引了大量數學家的研究,讓好多人窮極一生。在多面體着色這一問題中,群起着非常重要的作用,尤其是波利亞計數定理,其中與波利亞計數定理密切相關的就是轉動群,本文將介紹一些常用的轉動群,方便大家使用。
常用的轉動群
正四面體有4個頂點,4個面,6條棱。,每個面都是正三角形。
轉動群
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頂點
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面
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棱
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個數
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不動
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(1)4
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(1)4
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(1)6
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1
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頂點-面心, ±120度
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(1)1(3)1
|
(1)1(3)1
|
(3)2
|
8
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棱心-棱心, 180度
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(2)2
|
(2)2
|
(1)2(2)2
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3
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正六面體有8個頂點,6個面,12條棱,每個面都是正四邊形。
轉動群
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頂點
|
面
|
棱
|
個數
|
不動
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(1)8
|
(1)6
|
(1)12
|
1
|
面心-面心, ±90度
|
(4)2
|
(1)2(4)1
|
(4)3
|
6
|
面心-面心,180度
|
(2)4
|
(1)2(2)2
|
(2)6
|
3
|
棱心-棱心,180度
|
(2)4
|
(2)3
|
(1)2(2)5
|
6
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空間對角線,±120度
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(3)2(1)2
|
(3)2
|
(3)4
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8
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正八面體有6個頂點,8個面,12條棱,每個面都是正三角形。
轉動群
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頂點
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面
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棱
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個數
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不動
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(1)6
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(1)8
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(1)12
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1
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頂點-頂點, ±90度
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(1)2(4)1
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(4)2
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(4)3
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6
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頂點-頂點,180度
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(1)2(2)2
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(2)4
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(2)6
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3
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棱心-棱心,180度
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(2)3
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(2)4
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(1)2(2)5
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6
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面心-面心,±120度
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(3)2
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(3)2(1)2
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(3)4
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8
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正十二面體有20個頂點,12個面,30條棱,每個面都是正五邊形。
轉動群
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頂點
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面
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棱
|
個數
|
不動
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(1)20
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(1)12
|
(1)30
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1
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面心-面心, ±72度,±144度
|
(5)4
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(1)2(5)2
|
(5)6
|
24
|
棱心-棱心,180度
|
(2)10
|
(2)6
|
(1)2(2)14
|
15
|
頂點-頂點,±120度
|
(1)2(3)6
|
(3)4
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(3)10
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20
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正二十面體有12個頂點,20個面,30條棱,每個面都是正三角形。
轉動群
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頂點
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面
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棱
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個數
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不動
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(1)12
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(1)20
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(1)30
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1
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頂點-頂點, ±72度,±144度
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(1)2(5)2
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(5)4
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(5)6
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24
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棱心-棱心,180度
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(2)6
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(2)10
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(1)2(2)14
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15
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面心-面心,±120度
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(3)4
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(1)2(3)6
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(3)10
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20
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