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黃金菱形

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黃金菱形

幾何學中,黃金菱形是指兩對角線長度的比值呈黃金比例的菱形[1]

其中為長對角線的長度、為短對角線的長度。而由黃金矩形中取到的伐里農平行四邊形皆為黃金菱形。[1] 有數種知名的多面體皆由黃金菱形組成,例如比林斯基十二面體英語Bilinski_dodecahedron[2][3]菱形三十面體[4]等。特別地,有另一種菱形也與黃金比例相關聯,即潘洛斯鑲嵌英語Penrose_tiling中的菱形,但不同之處在於,潘洛斯鑲嵌英語Penrose_tiling中的菱形是邊長與對角線的比為黃金比例,而黃金菱形則是指兩對角線比值為黃金比例的菱形。[5]

性質

黃金菱形是菱形中的一個特例,其基本性質與菱形相同。以下討論黃金菱形的特別性質。

內角

黃金菱形的內角為[6]

  • 銳角: ;
  • 鈍角:
這個角度值與正十二面體相同[7]

邊長與對角線長

由於菱形也是一種平行四邊形[8],因此黃金菱形的邊長與對角線長可以用平行四邊形恆等式得出[9]

黃金菱形的邊長與對角線長具有以下關係:

因此,可以用來表示長對角線與短對角線[6]

面積

已知短對角線長時,黃金菱形的的面積為[10]

已知邊長為時,黃金菱形的的面積為[6][10]

在多面體中

黃金菱形出現在許多高對稱性的多面體中,例如菱形三十面體截半二十面體的對偶多面體)[4]菱形六十面體菱形三十面體的星形化體)[11]。黃金菱形也構成了許多知名的多面體,例如黃金菱形六面體英語Golden rhombohedra比林斯基十二面體英語Bilinski dodecahedron菱形二十面體等。由全部皆由黃金菱形組成的凸多面體僅有兩種黃金菱形六面體、比林斯基十二面體、菱形二十面體以及菱形三十面體五種。而不考慮凹凸性(即允許非凸多面體),則有無限多種多面體可以包含黃金菱形[12]

參見

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 Senechal, Marjorie, Donald and the golden rhombohedra, Davis, Chandler; Ellers, Erich W. (編), The Coxeter Legacy, American Mathematical Society, Providence, RI: 159–177, 2006, ISBN 0-8218-3722-2, MR 2209027 
  2. ^ Branko Grünbaum. The Bilinski Dodecahedron and Assorted Parallelohedra, Zonohedra, Monohedra, Isozonohedra, and Otherhedra (PDF) 32 (4): 5–15. 2010 [2020-08-04]. (原始內容 (PDF)存檔於2015-04-02). 
  3. ^ H.S.M Coxeter, "Regular polytopes", Dover publications, 1973.
  4. ^ 4.0 4.1 Weisstein, Eric W. (編). Rhombic Triacontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  5. ^ Livio, Mario, The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number, New York: Broadway Books: 206, 2002 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 Ogawa, Tohru, Symmetry of three-dimensional quasicrystals, Materials Science Forum, January 1987, 22–24: 187–200, doi:10.4028/www.scientific.net/msf.22-24.187 . See in particular table 1, p. 188.
  7. ^ Gevay, G., Non-metallic quasicrystals: Hypothesis or reality?, Phase Transitions, June 1993, 44 (1-3): 47–50, doi:10.1080/01411599308210255 
  8. ^ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin. "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition". Information Age Publishing. 2008: pp. 55-56 [2020-08-15]. (原始內容存檔於2020-02-26). 
  9. ^ Weisstein, Eric W. (編). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  10. ^ 10.0 10.1 Weisstein, Eric W. (編). Golden Rhombus. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  11. ^ Weisstein, Eric W. (編). Rhombic hexecontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  12. ^ Grünbaum, Branko, The Bilinski dodecahedron and assorted parallelohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra (PDF), The Mathematical Intelligencer, 2010, 32 (4): 5–15 [2020-08-04], MR 2747698, doi:10.1007/s00283-010-9138-7, (原始內容存檔 (PDF)於2015-04-02) .

外部連結