用戶:李正一/連續映射定理 (1)
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在概率論中,連續映射定理指出,連續函數是具有保持極限的性質的,即使他們的參數是一列隨機變量。 一個海涅定義下的連續函數是指將收斂數列映為收斂數列的函數:如果xn → x 那麼 g(xn) → g(x)。連續映射定理指出,如果我們把確定的數列{xn}替換為一列隨機變量 {Xn},把通常的收斂定義替換為某種隨機變量的收斂定義,那麼這個命題依然成立。
這個定理第一次由 Mann & Wald (1943)證明,因此有時又被稱作 Mann–Wald定理。[1]
聲明
我們{Xn}, X 是 隨機的因素的 定義為一個 公空間 S. 假設一個職能 g: S→S′ ( S' 另一個公空間)的一套 連貫性指 Dg 例如 Pr[X ∈ Dg] = 0. 那[2][3][4]
證據
這一證據已通過的 (van der Vaart 1998,Theorem 2.3)
空間 S 和 S' 具備某些衡量標準。 為簡明起見,我們將表示了兩種衡量標準使用|x−y|註釋的,儘管衡量尺度可能是任意的,而不一定是歐式的
趨同的分配
我們需要一個特別的聲明 輯原理:大的程度上趨於一致,在分配 相當於
修好任意關閉的設 F⊂S'的。 表示由 g-1的(F)預的形象 F 根據繪圖 g:制定的所有要點的 x ∈ S 此 g(x)∈F了 考慮一系列{xk} g(xk) ∈ F 和 xk → x的。 那麼這個序列的在於 g-1的(F)及其限制了點 x 屬於 關閉 這個確定, g-1的(F) (通過定義,《關閉的)。 重點 x 可能:
- 一項連續性的觀點, g,在這種情況下, g(xk) 為 g(x),因此 g(x)∈F 因為 F 是要封閉的,因此在這種情況下 x 屬於前形象的 F,或
- 一個不連續的觀點, g,以便 x ∈ Dg的。
因此,下面關係的:
考慮的活動{g(Xn)∈F}的規定。 可能這次活動可估計如
和由輯原理的 limsup 的最後言論的是少於或等於Pr(X ∈ g-1的(F)段)。 使用公式產生上段所述,這可以寫作
融合的概率
References
- ^ Amemiya 1985,第88頁
- ^ Van der Vaart 1998,Theorem 2.3, page 7
- ^ Billingsley 1969,第31, Corollary 1頁
- ^ Billingsley 1999,第21, Theorem 2.7頁