在複分析中 ,非零複數的複對數 (由表示)被定義為任意滿足的複數[1] 。該定義類似於實對數函數 ,被定義為實指數函數 e y的反函數 e y ,對於任意正實數x,滿足 。
任何複數有無窮多個複對數(見下段),因而複對數不能被定義為一個複數的函數,只可作為一個多值函數 。
如果z以極坐標形式給出(其中和為實數,且),那麼是的一個對數。 由於任取整數,均恰好有,因而對於這個, 也為的一個對數[1]
的所有复对数,都在复平面中与原点距离为的直线上。
由於每個非零複數具有無窮多個對數,因此在使用時,需要特別注意指出其明確的含義。
復指數函數求逆的問題
對於具有反函數的函數 ,將不同的值映射到不同的值 ,即其是單射 (如果我們不將到達域限制到函數的值域 ,則其為雙射)。 在指數中添加一個項,效果為使該複數旋轉弧度,因而任取複數,都可以得到,因而指數函數並不是單射。所以下列點:
沿該垂直線等間隔,且均由指數函數映射到相同的複數,即。 這意味着指數函數在一般意義上沒有反函數。 [2] [3] 這個問題有兩種解決方案:
一種是將指數函數的定義域限制為一個區域,該區域不存在相差整數倍的兩個數。因而,在此區域內,指數函數為一個雙射,這自然導出了在該區域的定義。 這類似於定義在上的函數,通過限制來尋找的反函數。
另一種方法是將對數視為一個函數,其定義域不是複平面中的區域,而是以無限到1的方式覆蓋穿孔複平面的黎曼曲面 。
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- ^ 1.0 1.1 Sarason,第IV.9節。
- ^ 康威,p。 39。
- ^ 對此的另一種解釋是復指數函數的「逆」是一個多值函數 ,它將每個非零複數z取為z的所有對數集 。