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亨澤爾引理

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亨澤爾引理(英語:Hensel's Lemma)是數學模算術的一個結論。亨澤爾引理說明,如果一個pp是給定的質數)的多項式方程有一個單根,則可以通過這個根求出該方程在模p的更高次方時的根。在完備交換環(包括p進數)中,亨澤爾引理被看作是類似於牛頓法的漸進求根方法。由於p進數分析在某些方面比實分析更加簡單,亨澤爾引理可以加強為多項式方程有根的判定方法。

定理內容

系數多項式為不少於2的整數,質數。若整數是下面同餘式的根:

對於

(I)

,則有:

  • ,則存在唯一的整數使得(I)成立。
  • ,則(I)對任意整數t成立。
  • ,則(I)無整數解。

證明

亨澤爾引理可用泰勒公式證明。

因此可見,由第三項開始,都必能被整除。因此:

推廣

為完備局域。設 的整數環,設為系數在 的多項式,若存在 使得

有根

且:

  1. 趨近

這個引理其中一個重要應用就是在域為p進數的情形。

參考