伽遼金方法(Galerkin method)是由俄羅斯數學家鮑里斯·格里戈里耶維奇·伽遼金(俄文:Борис Григорьевич Галёркин 英文:Boris Galerkin)發明的一種數值分析方法。應用這種方法可以將求解微分方程問題(通過方程所對應泛函的變分原理)簡化成為線性方程組的求解問題。而一個高維(多變量)的線性方程組又可以通過線性代數方法簡化,從而達到求解微分方程的目的。
伽遼金法採用微分方程對應的弱形式,其原理為通過選取有限多項試函數(又稱基函數或形函數),將它們疊加,再要求結果在求解域內及邊界上的加權積分(權函數為試函數本身)滿足原方程,便可以得到一組易於求解的線性代數方程,且自然邊界條件能夠自動滿足。
必須強調指出的是,作為加權餘量法的一種試函數選取形式,伽遼金法所得到的只是在原求解域內的一個近似解(僅僅是加權平均滿足原方程,並非在每個點上都滿足)。
因為伽遼金方法的妙處在於研究它們的抽象方法,所以我們首先給出它們的抽象推導。最後我們再給出應用的例子。
常常用到伽遼金法的領域有:
通過抽象問題的簡介
一個問題的弱形式
我們通過一個抽象問題來引入伽遼金方法,將問題表示成在一個希爾伯特空間
上的弱形式,也就是,求解
使得對於所有
![{\displaystyle a(u,v)=f(v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b66be709cbee65891e56e35e2eb4da8343e2ec)
成立。這裏,
是一個雙線性型表達式,即
,
是一個
上的線性形表達式。
伽遼金離散化
選取一個n 維子空間
,然後求解問題在子空間中的投影:求
使得對於所有
![{\displaystyle a(u_{n},v_{n})=f(v_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ec5abbff47e0611e0362ec7fd4beb188421bd9)
我們稱這個方程為伽遼金方程。注意方程形式沒有改變,但是求解域改變了。
伽遼金正交性
這是使得伽遼金方法非常有效的關鍵性質。因為
,我們可以取
為原方程的一個試向量。帶入並相減,便得到誤差的伽遼金正交性關係
![{\displaystyle a(e_{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b305b315c354eb5dfeac710aeb3a9a051fd7593)
這裏
是真實解
和伽遼金方程的解
之間的誤差。
矩陣形式
因為伽遼金方法的目標是將問題簡化為線性方程組,我們來構造它的矩陣形式,以便利用計算機進行數值求解。
令
為
空間中的一組基。則顯然依次選取這些基向量作為伽遼金方程的試向量是充分的,也即:求解
使得
![{\displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0f228e733042a3625c419aab49a275cd6d3340)
用上述基向量表示出
:
,將其代入上面的方程得到
![{\displaystyle a(\sum u_{j}e_{j},e_{i})=\sum u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9b1d9138b673f82a7177d3957e2b8986af23cb4)
這樣我們就得到了上面這組
型的線性方程組,式中
![{\displaystyle a_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2951d4a79beae01e428a1e3ddea60f821645c3)
矩陣的對稱性
由於矩陣項的定義,伽遼金方程的係數矩陣是對稱矩陣的充要條件是雙線性型表達式
是對稱的。
伽遼金方法的進一步分析
這裏,我們只討論對稱雙線性型,也即
![{\displaystyle a(u,v)=a(v,u).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c118209184305e04967a2e30f918a0ed15ab551d)
雖然伽遼金方法並不要求一定對稱,但這一限制使得標準理論的應用變得簡單的多。而且,非對稱情形的分析可能需要用到彼得羅夫-伽遼金方法。
下面我們分兩步分析上述方法。第一步,論證伽遼金方程在哈達瑪意義下是適定的,因此存在唯一解。第二步,討論伽遼金解
的誤差大小。
分析過程主要依據雙線性型的兩個性質:
- 有界性:對於所有
,下式成立
![{\displaystyle a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c998b2198897070d347cb6d4e0a9734a6bcac5c)
- 橢圓性:對於所有
,下式成立
![{\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38bec81326597b85206acfd6e3cd35996ad9fb49)
根據Lax-Milgram定理(參看弱形式),這兩條性質保證了原問題的弱形式的適定性。下面章節中的所有範數都是使得上面的不等式成立的範數(這些範數通常稱為能量範數)。
伽遼金方程的適定性
因為
,雙線性型的有界性和橢圓性對於
也成立。因此,伽遼金問題的適定性實際上繼承自其原問題的適定性。
准最佳近似(Céa引理)
真實解和伽遼金解之間的誤差
有如下估計
![{\displaystyle \|e_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2ed945f7746508986430276dddc4e96f77885d)
上式翻譯成文字語言就是:伽遼金解
的誤差(和真實解
的差)能控制在
中最優解向量的誤差的
倍以下(在量級上)。特別有用的是,從此對誤差的估計可以只在空間
中進行考慮,而完全不用回到求解的方程。
證明
因為證明非常簡單,並且是各種伽遼金法的基本原理依據,因此簡單介紹如下:
根據雙線性型的橢圓性和有界性(下式中的兩個不等號),以及伽遼金法的正交性(下式中間的等號),我們對於任意
有:
![{\displaystyle c\|e_{n}\|^{2}\leq a(e_{n},e_{n})=a(e_{n},u-v_{n})\leq C\|e_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde96c396a6c568de3009929ac8df68345489070)
全式除以
並對所有可能的
取下確界得到該引理。
例子
- 在有限元法中應用泊松方程
- 應用到共軛梯度法
文獻
通常,伽遼金法不是文獻的單獨主題。它們和它們的應用同時討論。
因此,讀者可以參考有限元方法的教科書。
譬如
- P. G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, 1978
在這個框架下的Krylov空間法的分析可以在這裏找到:
- Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM, 2003
外部連結