全稱量化

在謂詞邏輯中，全稱命題是對論域內所有成員的性質或關係的論斷結果的陳述。在符號邏輯中，全稱量詞∀是用來指示全稱量化的符號。

與它相對的，表示至少一個事物為真的量詞為存在量詞。

基礎

要表達「2乘以所有自然數都等於該自然數和自己相加的和」，一種方式的是：

2\times 0=0+0

，且

2\times 1=1+1

，且

2\times 2=2+2

，且

2\times 3=3+3

，以此類推。

因為使用了「且」一詞，這看上去是邏輯合取。然而形式邏輯中的合取概念卻不能表達出「以此類推」一詞的含義。

因此將該命題改述為

對於任意自然數

n

，

2\times n=n+n

。

這便是一個使用全稱量化的單一命題。該命題比原命題更精確，因為「以此類推」一詞想表示的是要包括所有的自然數、且除此之外不包括任何其它內容，但語言中並沒有明確地陳述這點，這便是「以此類推」一詞不能被形式地解釋的根本原因。

這個新命題為真，因為任何自然數 $n$ 都使命題 $2\times n=n+n$ 成立。反之，命題「對任何自然數 $n$ ，都有 $2\times n>2+n$ 則為假，因為當 $n$ 取1時， $2\times 1>2+1$ 便不成立。儘管大多數自然數 $n$ 都滿足 $2\times n>2+n$ ，但存在至少一個反例足以舉證全稱命題為假。

然而，「對任何合數 $n$ ，都有 $2\times n>2+n$ 」是真命題，因為所有的反例均不是合數。這說明了論域的重要性——確定變量 $n$ 的取值範圍。限制存在量化的論域要使用邏輯條件。例如「對任何合數 $n$ ，都有 $2\times n>2+n$ 」邏輯等價於「對任何自然數 $n$ ，如果 $n$ 為合數，則 $2\times n>2+n$ 」。這裏「如果……則」的句子構造出了邏輯條件。

在符號邏輯中，使用全稱量詞「∀」（倒置的無襯線體字母「A」）來表示全稱量化。所以如果 $P(n)$ 是謂詞「 $2\times n>2+n$ 」，而 $\mathbb {N}$ 則是自然數集，那麼有

\forall {n}{\in }\mathbb {N} \,P(n)

表示的是假命題「對任何自然數 $n$ ，都有 $2\times n>2+n$ 」。

類似地，若命題 $Q(n)$ 陳述的是「 $n$ 為合數」，那麼有

\forall {n}{\in }\mathbb {N} \,Q(n)\;\!\;\!{\rightarrow }\;\!\;\!P(n)

表示的是真命題「對任何合數 $n$ ，都有 $2\times n>2+n$ 」。

圓括號也有時用來表示全稱量化。

(n{\in }\mathbb {N} )\,P(n)

性質

否定

注意到一個量化的命題函數的結果是一個命題；因此像命題一樣，量化的函數也可被否定。數學家和邏輯學家用來表示否定的符號是： $\lnot \$ 。

舉例來說，定義 $P(x)$ 為命題函數「 $x$ 已婚」；則對所有活人組成的論域 $U$ ，考慮全稱量化「對給定的任何活人 $x$ ，此人都已婚」：

$\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)$

顯然，這個命題為假，於是我們可以切實地說：「並非都是這樣的情況，即：對給定的任何活人 $x$ ，此人都已婚」，或以符號記作：

$\lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)$ .

花點時間來考慮，準確地說，對全稱量詞進行否定就意味：如果並非對論域中的每一個元素來說命題均為真的話，則必存在至少一個元素使命題為假。這就是說，對命題函數 $P(x)$ 的否定是邏輯等價於「存在着某個沒有結婚的活人 $x$ 」的，或記作：

$\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot \ P(x)$

一般地，則有，對一個命題函數的全稱量化的否定是該命題函數的否定的一個存在量化；可用符號表示為：

$\lnot \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \lnot \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot \ P(x))$

推理規則

推理規則是指由假設到結論的過程中證明一個邏輯步驟成立的規則。有若干推理規則利用了全稱量詞。

普遍例證（Universal instantiation）推定出的結論是這樣的：若已知命題函數普遍成立，則其必對論域中任何隨意給出的元素均成立。將此符號化地表示為

$\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ P(c)$

其中 $c$ 是論域中可完全隨意確定的某個元素。

普遍概括（Universal generalization）推定出的結論是這樣的：若命題函數對論域中任何隨意給出的元素均成立，則其普遍成立。以符號表示為：對某個可隨意確定的c，

$P(c)\to \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)$

特別重要的是必須注意到， $c$ 必須是完全隨意確定的；否則便不能遵循該邏輯：若 $c$ 不是隨意確定的、而是論域中的一個特定元素，則 $P(c)$ 僅說明蘊意着該命題函數的某個存在量化可成立。

參考資料

Hinman, P. Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. 2005. ISBN 978-1-56881-262-5.
Franklin, J. and Daoud, A. Proof in Mathematics: An Introduction. Quakers Hill Press. 1996. ISBN 978-1-876192-00-6. （ch. 2）

參見

存在量化（∃，there exists）
量化 (數理邏輯)
絕對的普遍性——假如全稱量化的範圍為絕對一切事物