在數學中,右連左極函數(càdlàg,RCLL)是指定義在實數集或其子集上的處處右連續且有左極限的函數。這類函數在研究有跳躍甚至是需要跳躍的隨機過程時很重要,這類隨機過程不像布朗運動具有連續的樣本軌道。給定定義域上的右連左極函數的集合稱為斯科羅霍德空間(Skorokhod space)。
定義
累積分佈函數是右連左極函數的一個例子。
令
為度量空間,並令
。函數
稱為右連左極函數。若對於每一
,都有
- 左極限
存在;且
- 右極限
存在並等於
,
即
是右連續的且有左極限。
例子
- 全部連續函數都是右連左極函數。
- 由累積分佈函數的定義知所有的累積分佈函數都是右連左極函數。
斯科羅霍德空間
從
到
的所有右連左極函數的集合常記為
或簡記為
,稱為斯科羅霍德空間,是以烏克蘭數學家阿納托利·斯科羅霍德(Anatoliy Skorokhod)的名字命名。斯科羅霍德空間可以被指派一個拓撲結構,這一拓撲直覺上能使我們「稍微蠕動空間和時間」(而傳統的一致收斂拓撲僅允許我們「稍微蠕動空間」)。為了簡化說明,取
,
(Billingsley的書中描述了更一般的拓撲)
首先我們必須定義連續性模的一個模擬
。對於任意
,使
![{\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971536adb2e247f013f2024b4aed421538935296)
且對於
,將右連左極函數模(càdlàg modulus)定義為
![{\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d29f0cd91045936dc4a167d606a52d3b6d1dcc)
其中最大下界對所有劃分
,
都存在,且
。這一定義對於非右連左極函數
是有意義的(就如通常的連續性模對於不連續函數是有意義的)且可以說明
是右連左極函數若且唯若
時
。
這是令
表示從
到自身的所有嚴格遞減的連續雙射函數的集合(這些函數是「對時間的蠕動」)。令
![{\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f45b3e8ea51a7a8d1aa3f28a937830309a1773)
表示
上的函數的一致範數。將
上的斯科羅霍德度量(Skorokhod metric)
定義為
![{\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6a4d1f4bbfb14caa3484fe09fa17fac32c5d31)
其中
是恆等函數。以「蠕動」這種直觀感覺來看,
度量了「時間的蠕動」,而
度量了「空間的蠕動」。
我們可以證明斯科羅霍德度量度量的確是度量。由
生成的拓撲
稱為
上的斯科羅霍德拓撲(Skorokhod topology)。
斯科羅霍德空間的性質
一致拓撲的一般化
E 上的連續函數空間C 是D 的一個子空間。相對應於C 斯科羅霍德拓撲與這裏所述的一致拓撲相一致。
完備性
雖然D 不是關於斯科羅霍德度量σ 的一個完備空間,但是可以證明存在具完備性的關於D 的拓撲等價度量 σ0 。
分離性
關於σ 或σ0 的D 是可分空間,因此斯科羅霍德空間是波蘭空間。
斯科羅霍德空間中的胎緊性
通過應用阿爾澤拉-阿斯科利定理,我們可以證明斯科羅霍德空間D 上概率測度的一個序列
是胎緊的若且唯若同時滿足下列兩個條件:
![{\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\|f\|\geq a\}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c5a60efab478dee34eb0f3903d07a2f4b3faa5)
和
![{\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0{\text{ for all }}\varepsilon >0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b85777f2b90be01d5a5ee4cad07efc29967816b)
代數結構與拓撲結構
在斯科羅霍德拓撲和函數的逐點加法下,D 不是一個拓撲群。
參考文獻