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外代數

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左圖:由向量的有序集所定義出的定向
右圖:反定向,對應到加上負號的外積
實外代數中,n 階元素的幾何詮釋:n = 0(具有正負號的點),1(具有指向的線段,即向量),2(具有定向的平面元),3(具有定向的體積)。n個向量的外積可以圖像化為n維幾何物體(例如n平行六面體, n橢球);其大小為超體積(hypervolume),其定向的定義由(n − 1)維邊界以及物體內部在哪一側來決定。[1][2]

外代數(英語:Exterior algebra)也稱為格拉斯曼代數(Grassmann algebra),以紀念數學家赫爾曼·格拉斯曼

數學上,向量空間的外代數是一個特定有單位的結合代數,其包含了為其中一個子空間。它記為. 而它的乘法,稱為楔積外積,記為. 楔積是結合的和雙線性的;其基本性質是它在上是交錯的,也就是:

,對於所有向量

這表示

,對於所有向量,以及
,當 線性相關時。

值得注意的是,以上三性質只對中向量成立,不是對代數中所有向量成立。

外代數事實上是「最一般的」滿足這些屬性的代數。這意味着所有在外代數中成立的方程只從上述屬性就可以得出。的這個一般性形式上可以用一個特定的泛性質表示,請參看下文。

形式為的元素,其中中,稱為-向量。所有-向量生成的的子空間稱為-階外冪,記為。外代數可以寫作每個階冪的直和

該外積有一個重要性質,就是-向量和-向量的積是一個-向量。這樣外代數成為一個分次代數,其中分級由給出。這些-向量有幾何上的解釋:2-向量代表以為邊的帶方向的平行四邊形,而3-向量代表帶方向的平行六面體,其邊為, , 和

外冪的主要應用在於微分幾何,其中他們用來定義微分形式。因而,微分形式有一個自然的楔積。所有這些概念由格拉斯曼提出。

定義及運算律

外代數有很多種等價的定義,下面的定義是最簡潔的一個。

定義:是域 上的一個向量空間,讓則定義

張量代數理想(即雙邊理想),該理想是由所有形如的張量生成的(其中任意),則將上的外代數定義為商代數,即

並且把等價類[3] 記為,其中 。設

-階外冪th exterior power of ),稱中的元素為-向量-multivector)。

註:

  1. ,當且僅當時才有,因此,可以把等同於,並且把記為;基於類似的原因,可以把等同於,而且把記為。這一點是前面所講的能夠把記為 的特例和前提。
  2. 時,-向量並不僅限於形如的元素,例如,也是2-向量,其中.
  3. 理想中的元素並不僅限於形如的張量,例如,
    1. , 必定有 .
    2. , 由於以及,顯然有,這就有一個推論:所有的二階對稱張量都在理想中。
    3. 由於上面的兩個結論,,我們有,這是因為等式右邊的每一項都在中。對張量的階數作數學歸納法,則可以證明:, ,總有
  4. ,則作為等價類含有唯一的一個完全反對稱的代表元,可以把這個-階的完全反對稱張量等同於, 詳見後面的「反對稱算子和外冪」一節。在有些文獻中,-向量就是以這種方式定義的。

運算律 將上面的注中的內容用寫出,則分別給出

(1) ,

證明如下: 作為等價類,我們從中任意挑選一個代表元,則而且。根據商代數的定義,

類似地,可以證明

(2) 根據注3.1中的內容,顯然有.

(3) 根據注3.2中的內容,對任意成立着

註:即使特徵為2,這個公式也是對的,只不過此時有而已。

(4) 根據商代數的定義以及張量代數的性質,運算滿足結合律分配律

其中都是任意的。

以前兩條性質為例,其證明如下:設張量分別是中的代表元,即, , , 則

(5) 根據上面的(3)和(4),用數學歸納法可以證明:

證明從略。

基底和維數

維數,則集合

階外冪的一個基。理由如下:給定任何如下形式的楔積

則每個向量可以記為基向量的一個線性組合;利用楔積的雙線性性質,這可以擴張為那些基向量的楔積的線性組合。任何出現同樣基向量兩次的楔積為0;任何基向量出現的次序不正確的可以重新排序,在交換任何兩個基向量的時候轉換符號。一般來講,最後基-向量前的系數可以用通過積來描述矩陣子式來計算。

數一下基元素,我們可以看到的維數是nk。特別的有, 對於.

外代數是一個分級代數,是如下直和

其維數等於二項式系數之和,也就是.

例子: 歐氏三維空間的外代數

考慮空間,其基為。一對向量

的楔積為

其中是三維空間的基底。

再加一個向量

,

這三個向量的楔積是

其中是一維空間的基底。

空間, 而空間。取所有四個子空間的直和得到一個向量空間,這是八維向量空間

.

那麼,給定一對8維向量, 其中如上給出,而

,

的楔積如下(用列向量表達),

.

容易驗證8維楔積以向量為乘法單位元素。也可以驗證該代數的楔積是結合的(也是雙線性的):

所以該代數是有單位且結合的。

叉乘的實質,贗向量與贗純量

對三維歐幾里得空間可以建立一個線性同構如下:任取右手的標準正交基,規定分別映射為,則的定義與右手的標準正交基如何選取無關。

不難看出,對任意向量,這個線性同構把映射為。這就是叉乘(向量積)的實質。例如,平行四邊形的面積向量可以表示為. 經過推廣之後,高維黎曼流形中的的二維曲面的面積則可以用

來計算(其中是度規張量場上的誘導度規 的坐標分量),由此可以看到外積和叉乘的深刻關係。

在物理學中,向量極向量)與贗向量軸向量)兩個概念經常需要加以區分。從根本上說,向量是中的元素,所以在空間反演轉換下不會改變方向;而贗向量其實是中的元素,故在空間反演轉換下會改變方向。

類似地,藉助於右手的標準正交基,可以把中的元素映射為「純量"。但是,在空間反演轉換下它就會原形畢露,所以稱它為贗純量。真正的純量在空間反演下是不變的,而贗純量在空間反演下會改變符號。

把 2-向量映射為向量以及把 3-向量映射為一個實數的映射實際上是一個叫做霍奇對偶線性映射

泛性質及構造

為一個(在多數應用中,也就是實數域)上的向量空間。是「最一般」的包含的並有一個交替乘法在上由單位的結合-代數這個事實可以用如下的泛性質形式化的表達:

任給一個有單位的結合 -代數和一個-線性映射使得對於每個屬於成立,則存在恰好一個由單位的代數同態使得所有屬於成立。

外代數的泛性質
外代數的泛性質

要構造最一般的包含的代數,而且其乘法是在上交替的,很自然可以從包含的最一般的代數開始,也就是張量代數,然後通過合適的來強制交替的性質。這樣我們取中由所有形為的元素生成的雙邊理想,其中屬於,並定義

(並且使用中的乘法的代號)。然後可以直接證明包含並且滿足上述泛性質。

如果不是先定義然後把外冪等同為特定的子空間,我們也可以先定義空間然後把它們合併成為一個代數。這個方法在微分集合中常常用到,並在下節中有描述。

反對稱算子和外冪

給定兩個向量空間,一個從反對稱算子是一個多線性映射

使得只要線性相關的向量,則

.

最著名的例子是行列式值,從的反對稱線形算子。

映射

它關聯中的個向量到他們的楔積,也就是它們相應的-向量,這也是反對稱的。事實上,這個映射是定義在上的「最一般」的反對稱算子:給定任何其它反對稱算子,存在一個唯一的線性映射。這個泛性質表述了空間並且可以作為它的定義。

所有從到基體的反對稱映射組成一個向量空間,因為兩個這樣的映射的和、或者這樣一個映射和一個純量的乘積也是反對稱的。若是有限維的,維數,則該空間可以認同為,其中表示的對偶空間。特別的有,從的反對稱映射的空間是維的。

在這個等同關係下,若基體是或者,楔積有一個具體的形式:它從兩個給定的反對稱映射得到一個新的反對稱映射。設為兩個反對稱映射。和在多線性映射的張量積的情況一樣,楔積的變量數是每個映射的變量數之和。它定義如下:

其中多線性映射的交替定義為其變量的所有排列的帶符號平均:

注意: 有一些書中楔積定義為

指標記法

在主要由物理學家使用的指標記法中有:

微分形式

為一個微分流形。一個微分k-形式餘切叢階外冪)的一個截面。等價的有:的光滑函數,對於的每個點給定一個的元素。大致來講,微分形式是餘切向量的全局版本。微分形式是微分幾何的重要工具,其中,它們被用於定義德拉姆餘調亞歷山大-斯潘尼爾餘調

推廣

給定一個交換環和一個-,我們可以定義和上文一樣的外代數,它是張量代數適當的商。它會滿足類似的泛性質。

物理應用

格拉斯曼代數在物理中有重要應用,它們被用於建模和費米子超對稱性相關的各種概念。

參看超空間超代數超群

註釋

  1. ^ R. Penrose. The Road to Reality. Vintage books. 2007. ISBN 0-679-77631-1. 
  2. ^ J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne. Gravitation. W.H. Freeman & Co. 1973: 83. ISBN 0-7167-0344-0. 
  3. ^ 由下述等價關係 所形成的等價類:

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