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冪零元素

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抽象代數中,某個環R的一個元素x是一個冪零元素,當存在一個正整數n,使得xn等於加法中的零元素。

例子

  • 首先來看一個矩陣中的例子。在3階方陣中,矩陣:
是一個冪零元素,因為A3 = 0。
  • 商環Z/9Z中,同餘類3是一個冪零元素,因為32是同餘類0。
  • 如果在不交換的環R中,a,b滿足ab=0。那麼元素c=ba(如果非零的話)是一個冪零元素,因為c2=(ba)2=b(ab)a=0。在矩陣中的一個例子是:
於是有

性質

在一個非平凡的交換環中,冪零元素不可能是乘法的可逆元素。每個冪零元素顯然都是零因子

在交換環中,所有的冪零元素組成一個理想,稱作這個環的詣零根英語Nilradical of a ring。每個質理想都包含所有的冪零元素,實際上,所有質理想的交集就是環的詣零根。

如果x是冪零元素,那麼1 − x就是一個可逆元素,因為由xn = 0 可得

(1 − x) (1 + x + x2 + ... + xn−1) = 1 − xn = 1。

更一般地,在滿足交換律的情況下,可逆元素與冪零元素之和依然是一個可逆元素。

一個域上的n階方陣是冪零元素,當且僅當它的特徵多項式等於

參見