指數映射 (黎曼幾何)

過北極的切面，到地面表面的指數映射，地圖學稱為方位等距投影。

黎曼幾何中，指數映射$\exp _{p}$（英語：exponential map）是由某（偽）黎曼流形$M$切空間$T_{p}M$的子集，到$M$本身的映射。（偽）黎曼度量對應某個典範仿射聯絡，而（偽）黎曼流形的指數映射就是這個聯絡的指數映射。直觀理解，由起點$p$出發，以揀選切向量$v\in T_{p}M$為速度，沿流形上的「直線」行單位時間，到達的終點就是$\exp _{p}(v)$。

定義

設$M$為微分流形，$p$為$M$上一點。利用$M$上的仿射聯絡，可以定義過$p$點的測地線。

設$v\in T_{p}M$為於$p$點的切向量，則獨有一條測地線$\gamma _{v}$滿足$\gamma _{v}(0)=p$，而初始切向量為$\gamma _{v}'(0)=v$。對應的指數映射$\exp _{p}$由

$\exp _{p}(v)=\gamma _{v}(1)$

定義。一般而言，指數映射不必在全個$T_{p}M$有定義，而衹有局部定義，即定義域是$T_{p}M$原點的小鄰域，映到$p$在流形上的某鄰域內。原因是，測地線之所以存在（和唯一），藉賴常微分方程解的柯西-利普希茨定理，但該定理是僅在局部成立。若指數映射在切叢處處有定義，則該線性聯絡稱為完備。

參考資料

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry Vol. 1 New, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0-471-15733-3 .